Exercícios recomendados da CE-223 Estatística computacional, 2008

1. Fazer um gráfico da função de probabilidade de uma v.a.
2. Fazer um gráfico da função de densidade de probabilidade de uma v.a.

1. Mostrar o comando para obter uma sequência dos múltiplos de 10 até 200.
2. Criar um vetor a1 com os elementos (23, 45, 21, 29, 40, 22, 29, 37, 44, 37, 31, 33, 36)
3. Extrair os elementos de a1 que sejam maiores que 30.
4. Extrair os elementos de a1 que sejam menores que 25 ou maiores que 40. Guardar estes valores em um vetor a2
5. Extrair os elementos de a1 que sejam maiores que 30 e menores que 40.
6. Obter as posições dos elementos de a1 que sejam menores que 30
7. Obter a posição do maior elemento da a1
8. Obter a posição do menor elemento da a1
9. Criar um vetor a3 com os elementos de a1 para os quais o resto da divisão por 3 seja igual a 2. (Dica: o operador % % fornece o resto da divisão, veja exemplo a seguir).

   > 14 %% 3
   [1] 2
   > 18 %% 3
   [1] 0
   > 22 %% 3
   [1] 1

10. Extrair os elementos de a1 que sejam múltiplos de 4
11. Substituir em a1 os elementos iguais a 37 pelo valor 36
12. Substituir em a1 os elementos maiores que 40 pelo código de valor perdido NA
13. Obter as posições de a1 onde estão os valores perdidos
14. Crie um vetor chamado sexo com os comandos a seguir:

    sexo <- c(1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2)
    sexo <- factor(sexo, lev=1:2, lab=c("M","F"))

15. Obter as posições em sexo que possuem o valor “M“
16. Obter os valores de a1 para os quais o valor correspondente em sexo é “M“
17. Obter os valores de a1 para os quais o valor correspondente em sexo é “F“
18. Descrever o resultado de cada um dos comandos a seguir:

    sort(a1)
    order(a1)
    a1[order(a1)]
    sort(a1, dec = TRUE)

19. Criar um objeto a1.ord com os elementos de a1 em ordem crescente
20. Ordenar os objetos de a1 de forma a exibir primeiro todos os elementos correpondentes a “M“ e depois os correspondentes a “F“
21. Criar um objeto chamado notas que possua os elementos de a1 com valores correspondentes de sexo sendo “M“ ordenados de forma crescente, seguidos pelos correspondentes a “F“ também ordenados de forma crescente. Em outras palavras, o objeto notas deverá ter as notas dos homes ordenadas seguidas pelas das mulheres também ordenadas.
22. Criar um vetor com os seguinte elementos: (1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500)
23. Adicionar o valor 55 entre os valores 50 e 60 do vetor criado acima

A função Gamma é uma função importante em várias áreas da matemática e com diversas aplicações em estatística, sendo dada por:
com .

Da definição decorrem as seguintes propriedades:

• 
• Se é um número inteiro, então
• 
• 

1. Obtenha usando o R o resultado da combinação de 10 elementos tomados 4 a 4 de três formas diferentes:
   • usando a função choose()
   • usando a função factorial()
   • usando a função gamma()
2. digite na linha de comando do R:

   factorial

   desta forma será mostrado o código da função. Note que a função factorial() na verdade utiliza a função gamma() e a segunda propriedade mencionada acima para processar os cálculos.
3. Obtenha um gráfico da função de densidade de probabilidade da distribuição , três graus de liberdade, de duas formas diferentes:
   • utilizando operações algébricas com a expressão da f.d.p.
   • utilizando a função dchisq()
4. Obtenha um gráfico de formas análogas às do exercício anterior para a distribuição t com 9 graus de liberdade.
5. Considere o exercício da distribuição binomial da primeira aula do curso e discutido na aula desta semana. Experimente utilizar o comando plot() com o uso do argumento type com cada uma das opções: type = “p“, type = “l“, type = “b“, type = “c“, type = “o“, type = “h“, type = “s“, type = “S“, type = “n“. Verifique os resultados produzidos e:
   • descreva o tipo de gráfico produzido com cada opção
   • discuta exemplos de situações onde o uso de cada um destes tipos de gráficos seria adequado

1. Ilustre via simulação o seguinte resultados,
   • Se Z ~ N(0,1) então Z^2 ~ qui-quadrado com 2 g.l.
   • Se Z1,…,Zn ~ N(0,1) então sum Z^2 ~ qui-quadrado com n g.l.
   • Se Y1,…,Yn ~ N(mu,sigma2) então (1/n)sum Yi ~ N(mu,sigma2/n).
   • Se Y1,…,Yn ~ N(mu,sigma2) e S2 = ∑(Yi-Yˉ)^2/(n-1) entao V = (n-1)S2 ∕ sigma2 tem distribuição qui-quadrado com n-1 g.l. Compare os valores teóricos E[S2] = sigma2 e Var[S2] = 2 * sigma2 / (n-1) com os valores obtidos na simulação.
2. Considere uma distribuição N(0,1) e amostras de tamanho n = 20 desta distribuição. Sejam dois estimadores: T1, a média amostral e T2 a mediana amostral. Avalie e compare através de simulações a eficiência dos dois estimadores. É possível identificar o mais eficiente? Qual a eficiência relativa? Repita o procedimento com diferentes tamanhos de amostra e verifique o efeito do tamanho da amostra na eficiência relativa.
3. Ilustrar o resultado que diz que o quociente de duas variáveis independentes com distribuição χ2 tem distribuição F.