Figura 68: Dados para análise de covariância.
Os dados disponíveis em neste link são um exemplo onde a análise de covariância pode ser utilizada. Neste caso temos uma variável resposta e duas variáveis explicativas sendo uma delas qualitativa (um fator) e outra quantitativa (numérica). O arquivo com conjunto de dados para sua área de trabalho de depois importando para o R com read.table() Alternativamente, se o computador estiver conectado a internet read.table() pode ler diretamente o arquivo como mostrado a seguir.
O primeiro passo é a leitura e organização dos dados, em particular assegurando que a variável qualitativa indicadora dos tratamentos seja indicada como sendo um fator evitando que seus valores sejam interpretados como quantidades numéricas. Note que neste caso temos 2 variáveis numéricas, a resposta (resp) e a covariável (cov).
Os dados podem ser visualizados na Figura 26.1 produzida com o comando a seguir. Note-se que os dados de cada um dos tratamentos são indicados por cores (argumento col)] e padrões de pontos (argumento pch) indexados pema variável maq que define os níveis dos tratamentos
Na análise de covariância não temos ortogonalidade entre os fatores. Desta forma os testes de significância tem que ser obtidos em ajustes separados: (i) para o efeito de covariáveis, corrigido pelo efeito dos tratamentos qualitativos e (ii) para o efeito dos tratamentos qualitativos, corrigidos pelo efeito da covariável.
Primeiro vamos testar a inclinação (coeficiente β1) da reta de regressão. Na análise de variância abaixo devemos considerar apenas o teste referente à variável cov que neste caso está corrigida para o efeito de maq. Note que para isto a variável cov tem que ser a última na especificação do modelo.
A seguir testamos o efeito do fator maq corrigindo para o efeito da covariável. Para isto basta inverter a ordem dos termos na especificação do modelo.
Portanto, olhamos o primeiro quadro da ANOVA para verificar o efeito da covariável, e no segundo para verificar o efeito do tratamento. Se desejável poderia-se tomar os resultados de cada um deles para compor um quandro de análise, porém com a resalva que, devido a não ortogonalidade, a soma das somas de quadrados não corresonde a soma de quadrados total. Entretanto, há uma função Anova() no pacote car do R que já monta tal quadro automaticamente conforme ilustrado a seguir.
Note que esta função irá retornar o mesmo resultado para qualquer ordem dos termos no modelo, ou seja, no exemplo acima Anova(ex12.cov, type="III") e Anova(ex12.trat, type="III") retornam os mesmos resultados.
O argumento type="III" refere-se a um jargão consagrado pelo software SAS que corresponde a soma de quadrados do tipo III. Em geral nas funções básicas do R evita-se tal jargão e procura-se usar so conceitos ligados à parametrização do modelo através da definição dos contrastes e por isto tal terminologia está apenas em um pacote contribuído.
Neste caso a função Anova faz o mesmo que mostrado nas duas análises de variâncias iniciais, obtendo para cada termo a soma de quadrados quando este é corrigido para os demais, ou seja, colocado na última posição na especificação do modelo.