A. Lista de Distribuições

Neste apêndice são listadas as distribuições de probabilidade utilizadas no texto para facilidade de referência. São apresentadas suas funções de (densidade) de probabilidade além da média e variância. Uma revisão exaustiva de distribuições de probabilidades pode ser encontrada em Johnson et al. (1992, 1994, 1995).

A.1 Distribuição Normal

$X$ tem distribuição normal com parâmetros $\mu$ e $\s$, denotando-se $X\sim N(\mu,\s)$, se sua função de densidade é dada por

$$p(x\vert\mu,\s)=(2\pi\s)^{-1/2}\exp[-(x-\mu)^2/2\s],\quad -\infty<x<\infty,$$

para $-\infty<\mu<\infty$ e $\s>0$. Quando $\mu=0$ e $\s=1$ a distribuição é chamada normal padrão. A distribuição log-normal é definida como a distribuição de $e^X$.

No caso vetorial, $\bfX=(X_1,\dots,X_p)$ tem distribuição normal multivariada com vetor de médias $\bfmu$ e matriz de variância-covariância $\Sigma$, denotando-se $\bfX\sim N(\bfmu,\Sigma)$ se sua função de densidade é dada por

$$p(x\vert\bfmu,\Sigma)= (2\pi)^{-p/2}\vert\Sigma\vert^{-1/2}\exp[-(\bfx-\bfmu)'\Sigma^{-1}(\bfx-\bfmu)/2]$$

para $\bfmu\in\mathbb{R}^p$ e $\Sigma$ positiva-definida.

A.2 Distribuição Gama

$X$ tem distribuição Gama com parâmetros $\alpha$ e $\beta$, denotando-se $X\sim Ga(\alpha,\beta)$, se sua função de densidade é dada por

$$p(x\vert\alpha,\beta)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1}e^{-\beta x},\quad x>0,$$

para $\alpha,\beta>0$.

$$E(X)=\alpha/\beta$$   e$$\quad V(X)=\alpha/\beta^2.$$

Casos particulares da distribuição Gama são a distribuição de Erlang, $Ga(\alpha,1)$, a distribuição exponencial, $Ga(1,\beta)$, e a distribuição qui-quadrado com $\nu$ graus de liberdade, $Ga(\nu/2,1/2)$.

A.3 Distribuição Gama Inversa

$X$ tem distribuição Gama Inversa com parâmetros $\alpha$ e $\beta$, denotando-se
$X\sim GI(\alpha,\beta)$, se sua função de densidade é dada por

$$p(x\vert\alpha,\beta)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{-(\alpha+1)}e^{-\beta/x},\quad x>0,$$

para $\alpha,\beta>0$.

$$E(X)=\frac{\beta}{\alpha-1}$$   e$$\quad V(X)=\frac{\beta^2}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}.$$

Não é difícil verificar que esta é a distribuição de $1/X$ quando $X\sim Ga(\alpha,\beta)$.

A.4 Distribuição Beta

$X$ tem distribuição Beta com parâmetros $\alpha$ e $\beta$, denotando-se $X\sim Be(\alpha,\beta)$, se sua função de densidade é dada por

$$p(x\vert\alpha,\beta)= \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta -1},\quad 0<x<1,$$

para $\alpha,\beta>0$.

$$E(X)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$$   e$$\quad V(X)=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}.$$

A.5 Distribuição de Dirichlet

O vetor aleatório $\bfX=(X_1,\dots,X_k)$ tem distribuição de Dirichlet com parâmetros $\alpha_1,\dots,\alpha_k$, denotada por $D_k(\alpha_1,\dots,\alpha_k)$ se sua função de densidade conjunta é dada por

$$p(\bfx\vert\alpha_1,\dots,\alpha_k)= \frac{\Gamma(\alpha_0)}{\Gam... ...ma(\alpha_k)} x_1^{\alpha_1-1}\dots x_k^{\alpha_k-1},\quad \sum_{i=1}^k x_i=1,$$

para $\alpha_1,\dots,\alpha_k>0$ e $\alpha_0=\sum_{i=1}^k \alpha_i$.

$$E(X_i)=\frac{\alpha_i}{\alpha_0},\quad V(X_i)=\frac{(\alpha_0-\alpha_i)\alpha_i}{\alpha_0^2(\alpha_0+1)},$$   e$$\quad Cov(X_i,X_j)=-\frac{\alpha_i\alpha_j}{\alpha_0^2(\alpha_0+1)}$$

Note que a distribuição Beta é obtida como caso particular para $k=2$.

A.6 Distribuição $t$ de Student

$X$ tem distribuição $t$ de Student (ou simplesmente $t$) com média $\mu$, parâmetro de escala $\sigma$ e $\nu$ graus de liberdade, denotando-se $X\sim t_{\nu}(\mu,\s)$, se sua função de densidade é dada por

$$p(x\vert\nu,\mu,\s)= \frac{\Gamma((\nu+1)/2)\nu^{\nu/2}}{\Gamma(\... ...igma} \left[\nu+\frac{(x-\mu)^2}{\s}\right]^{-(\nu+1)/2},\quad x\in\mathbb{R},$$

para $\nu>0$, $\mu\in\mathbb{R}$ e $\s>0$.

$$E(X)=\mu,$$   para $$\nu>1$$   e$$\quad V(X)=\frac{\nu}{\nu-2},$$   para $$\nu>2.$$

Um caso particular da distribuição $t$ é a distribuição de Cauchy, denotada por $C(\mu,\s)$, que corresponde a $\nu=1$.

A.7 Distribuição $F$ de Fisher

$X$ tem distribuição $F$ com $\nu_1$ e $\nu_2$ graus de liberdade, denotando-se $X\sim F(\nu_1,\nu_2)$, se sua função de densidade é dada por

$$p(x\vert\nu_1,\nu_2)= \frac{\Gamma((\nu_1+\nu_2)/2)}{\Gamma(\nu_1... ...} \nu_1^{\nu_1/2}\nu_2^{\nu_2/2}x^{\nu_1/2-1}(\nu_2+\nu_1x)^{-(\nu_1+\nu_2)/2}$$

$x>0$, e para $\nu_1,\nu_2>0$.

$$E(X)=\frac{\nu_2}{\nu_2-2},$$   para $$\nu_2>2$$   e$$\quad V(X)=\frac{2\nu_2^2(\nu_1+\nu_2-2)}{\nu_1(\nu_2-4)(\nu_2-2)^2},$$   para $$\nu_2>4.$$

A.8 Distribuição Binomial

$X$ tem distribuição binomial com parâmetros $n$ e $p$, denotando-se $X\sim bin(n,p)$, se sua função de probabilidade é dada por

$$p(x\vert n,p)={{n}\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x},\quad x=0,\dots,n$$

para $n\ge 1$ e $0<p<1$.

$$E(X)=np$$   e$$\quad V(X)=np(1-p)$$

e um caso particular é a distribuição de Bernoulli com $n=1$.

A.9 Distribuição Multinomial

O vetor aleatório $\bfX=(X_1,\dots,X_k)$ tem distribuição multinomial com parâmetros $n$ e probabilidades $\theta_1,\dots,\theta_k$, denotada por $M_k(n,\theta_1,\dots,\theta_k)$ se sua função de probabilidade conjunta é dada por

$$p(\bfx\vert\theta_1,\dots,\theta_k)= \frac{n!}{x_1!,\dots,x_k!}\theta_1^{x_1},\dots,\theta_k^{x_k},\quad x_i=0,\dots,n,\quad \sum_{i=1}^k x_i=n,$$

para $0<\theta_i<1$ e $\sum_{i=1}^k \theta_i=1$. Note que a distribuição binomial é um caso especial da multinomial quando $k=2$. Além disso, a distribuição marginal de cada $X_i$ é binomial com parâmetros $n$ e $\theta_i$ e

$$E(X_i)=n\theta_i,\quad V(X_i)=n\theta_i(1-\theta_),$$   e$$\quad Cov(X_i,X_j)=-n\theta_i\theta_j.$$

A.10 Distribuição de Poisson

$X$ tem distribuição de Poisson com parâmetro $\theta$, denotando-se $X\sim Poisson(\theta)$, se sua função de probabilidade é dada por

$$p(x\vert\theta)=\frac{\theta^x e^{-\theta}}{x!},\quad x=0,1,\dots$$

para $\theta >0$.

$$E(X)=V(X)=\theta.$$

A.11 Distribuição Binomial Negativa

$X$ tem distribuição de binomial negativa com parâmetros $r$ e $p$, denotando-se $X\sim BN(r,p)$, se sua função de probabilidade é dada por

$$p(x\vert r,p)={{r+x-1}\choose{x}}p^r(1-p)^x,\quad x=0,1,\dots$$

para $r\ge 1$ e $0<p<1$.

$$E(X)=r(1-p)/p$$   e$$\quad V(X)=r(1-p)/p^2.$$