6 Distribuições de Probabilidade

O programa R inclui funcionalidade para operações com distribuições de probabilidades. Para cada distribuição há 4 operações básicas indicadas pelas letras:

d

calcula a densidade de probabilidade $f(x)$ no ponto

p

calcula a função de probabilidade acumulada $F(x)$ no ponto

q

calcula o quantil correspondente a uma dada probabilidade

r

retira uma amostra da distribuição

Para usar os funções deve-se combinar uma das letras acima com uma abreviatura do nome da distribuição, por exemplo para calcular probabilidades usamos: pnorm para normal, pexp para exponencial, pbinom para binomial, ppois para Poisson e assim por diante.

Vamos ver com mais detalhes algumas distribuições de probabilidades.

6.1 Distribuição Normal

A funcionalidade para distribuição normal é implementada por argumentos que combinam as letras acima com o termo norm. Vamos ver alguns exemplos com a distribuição normal padrão. Por default as funções assumem a distribuição normal padrão $N(\mu=0, \sigma^2=1)$.

> dnorm(-1)
[1] 0.2419707

> pnorm(-1)
[1] 0.1586553

> qnorm(0.975)
[1] 1.959964

> rnorm(10)
 [1] -0.0442493 -0.3604689  0.2608995 -0.8503701 -0.1255832  0.4337861
 [7] -1.0240673 -1.3205288  2.0273882 -1.7574165

O primeiro valor acima corresponde ao valor da densidade da normal

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}\exp\{-\frac{1}{2\sigma^2}(x - \mu)^2\}$$

com parâmetros $(\mu=0, \sigma^2=1)$ no ponto $-1$. Portanto, o mesmo valor seria obtido substituindo $x$ por $-1$ na expressão da normal padrão:

> (1/sqrt(2*pi)) * exp((-1/2)*(-1)^2)
[1] 0.2419707

A função pnorm(-1) calcula a probabilidade $P(X \leq -1)$.
O comando qnorm(0.975) calcula o valor de $a$ tal que $P(X \leq a)=0.975$.
Finalmente o comando rnorm(10) gera uma amostra de 10 elementos da normal padrão. Note que os valores que voce obtém rodando este comando podem ser diferentes dos mostrados acima.

As funções acima possuem argumentos adicionais, para os quais valores padrão (default) foram assumidos, e que podem ser modificados. Usamos args para ver os argumentos de uma função e help para visualizar a documentação detalhada:

> args(rnorm)
function (n, mean = 0, sd = 1)

As funções relacionadas à distribuição normal possuem os argumentos mean e sd para definir média e desvio padrão da distribuição que podem ser modificados como nos exemplos a seguir. Note nestes exemplos que os argumentos podem ser passados de diferentes formas.

> qnorm(0.975, mean = 100, sd = 8)
[1] 115.6797

> qnorm(0.975, m = 100, s = 8)
[1] 115.6797

> qnorm(0.975, 100, 8)
[1] 115.6797

Para informações mais detalhadas pode-se usar a função help. O comando

> help(rnorm)

irá exibir em uma janela a documentação da função que pode também ser chamada com ?rnorm. Note que ao final da documentação são apresentados exemplos que podem ser rodados pelo usuário e que auxiliam na compreensão da funcionalidade.
Note também que as 4 funções relacionadas à distribuição normal são documentadas conjuntamente, portanto help(rnorm), help(qnorm), help(dnorm) e help(pnorm) irão exibir a mesma documentação.

Cálculos de probabilidades usuais, para os quais utilizávamos tabelas estatísticas podem ser facilmente obtidos como no exemplo a seguir.

Seja $X$ uma v.a. com distribuição $N(100, 100)$. Calcular as probabilidades:

1. $P[X < 95]$
2. $P[90 < X < 110]$
3. $P[X > 95]$

Calcule estas probabilidades de forma usual, usando a tabela da normal. Depois compare com os resultados fornecidos pelo R. Os comandos do R para obter as probabilidades pedidas são:

> pnorm(95, 100, 10)
[1] 0.3085375

> pnorm(110, 100, 10) - pnorm(90, 100, 10)
[1] 0.6826895

> 1 - pnorm(95, 100, 10)
[1] 0.6914625
> pnorm(95, 100, 10, lower=F)
[1] 0.6914625

Note que a última probabilidade foi calculada de duas formas diferentes, a segunda usando o argumento lower que implementa um algorítmo de cálculo de probabilidades mais estável numericamente.

A seguir vamos ver comandos para fazer gráficos de distribuições de probabilidade. Vamos fazer gráficos de funções de densidade e de probabilidade acumulada. Estude cuidadosamente os comandos abaixo e verifique os gráficos por eles produzidos. A Figura  mostra gráficos da densidade (esquerda) e probabilidade acumulada (direita) da normal padrão, produzidos com os comandos a seguir. Para fazer o gráfico consideramos valores de $X$ entre -3 e 3 que correspondem a +/- três desvios padrões da média, faixa que concentra 99,73% da massa de probabilidade da distribuição normal.

> plot(dnorm, -3, 3)
> plot(pnorm, -3, 3)

Figura : Funções de densidade e probabilidade da distribuição normal padrão.

A Figura  mostra gráficos da densidade (esquerda) e probabilidade acumulada (direita) da $N(100, 64)$. Para fazer estes gráficos tomamos uma sequência de valors de $x$ e para cada um deles calculamos o valor da função $f(x)$ e depois unimos os pontos $(x,f(x))$ em um gráfico.

> x <- seq(70, 130, len=100)
> fx <- dnorm(x, 100, 8)
> plot(x, fx, type='l')

Figura : Funções de densidade de probabilidade (esquerda) e função de distribuição acumulada (direita) da $N(100, 64)$.

Note que, alternativamente, os mesmos gráficos poderiam ser produzidos com os comandos a seguir.

> plot(function(x) dnorm(x, 100, 8), 70, 130)
> plot(function(x) pnorm(x, 100, 8), 70, 130)

Comandos usuais do R podem ser usados para modificar a aparência dos gráficos. Por exemplo, podemos incluir títulos e mudar texto dos eixos conforme mostrado na gráfico da esquerda da Figura  e nos dois primeiros comandos abaixo. Os demais comandos mostram como colocar diferentes densidades em um um mesmo gráfico como ilustrado à direita da mesma Figura.

> plot(dnorm, -3, 3, xlab='valores de X', ylab='densidade de probabilidade')
> title('Distribuicão Normal\nX ~ N(100, 64)')
 
> plot(function(x) dnorm(x, 100, 8), 60, 140, ylab='f(x)')
> plot(function(x) dnorm(x, 90, 8), 60, 140, add=T, col=2)
> plot(function(x) dnorm(x, 100, 15), 60, 140, add=T, col=3)
> legend(120, 0.05, c("N(100,64)","N(90,64)","N(100,225)"), fill=1:3)

Figura : Gráfico com texto nos eixos e título (esquerda) e várias distribuições em um mesmo gráfico (direita).

6.2 Distribuição Binomial

Cálculos para a distribuição binomial são implementados combinando as letras básicas vistas acima com o termo binom. Vamos primeiro investigar argumentos e documentação com os comandos args e binom.

> args(dbinom)
function (x, size, prob, log = FALSE) 

> help(dbinom)

Seja $X$ uma v.a. com distribuição Binomial com $n=10$ e $p=0.35$. Vamos ver os comandos do R para:

1. fazer o gráfico das função de densidade
2. idem para a função de probabilidade
3. calcular $P[X = 7]$
4. calcular $P[X < 8] = P[X \leq 7]$
5. calcular $P[X \geq 8] = P[X > 7]$
6. calcular $P[3 < X \leq 6] = P[4 \leq X < 7]$

Note que sendo uma distribuição discreta de probabilidades os gráficos são diferentes dos obtidos para distribuição normal e os cálculos de probabilidades devem considerar as probabilidades nos pontos. Os gráficos das funções de densidade e probabilidade são mostrados na Figura .

> x <- 0:10

> fx <- dbinom(x, 10, 0.35)
> plot(x, fx, type='h')

> Fx <- pbinom(x, 10, 0.35)
> plot(x, Fx, type='S')

> dbinom(7, 10, 0.35)
[1] 0.02120302

> pbinom(7, 10, 0.35)
[1] 0.9951787
> sum(dbinom(0:7, 10, 0.35))
[1] 0.9951787

> 1-pbinom(7, 10, 0.35)
[1] 0.004821265
> pbinom(7, 10, 0.35, lower=F)
[1] 0.004821265

> pbinom(6, 10, 0.35) - pbinom(3, 10, 0.35)
[1] 0.4601487
> sum(dbinom(4:6, 10, 0.35))
[1] 0.4601487

Figura : Funções de probabilidade (esquerda) e de distribuição acumulada (direita) da $B(10, 0.35)$.

6.3 Exercícios

Nos exercícios abaixo iremos também usar o R como uma calculadora estatística para resolver alguns exemplos/exercícios de probabilidade tipicamente apresentados em um curso de estatística básica.

Os exercícios abaixo com indicação de página foram retirados de:
Magalhães, M.N. & Lima, A.C.P. (2001) Noções de Probabilidade e Estatística. 3 ed. São Paulo, IME-USP. 392p.

1. (Ex 1, pag 67) Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0.4. Para quatro lançamentos independentes dessa moeda, estude o comportamento da variável número de caras e faça um gráfico de sua função de distribuição.

2. (Ex 5, pag 77) Sendo $X$ uma variável seguindo o modelo Binomial com parâmetro $n = 15$ e $p = 0.4$, pergunta-se:
   • $P(X \geq 14)$
   • $P(8 < X \leq 10)$
   • $P(X < 2 \;{\rm ou }\; X \geq 11)$
   • $P(X \geq 11 \;{\rm ou}\; X > 13))$
   • $P(X > 3 \;{\rm e}\; X < 6)$
   • $P(X \leq 13 \;\vert\; X \geq 11)$

3. (Ex 8, pag 193) Para $X \sim N(90, 100)$, obtenha:
   • $P(X \leq 115)$
   • $P(X \geq 80)$
   • $P(X \leq 75)$
   • $P(85 \leq X \leq 110)$
   • $P(\vert X - 90\vert \leq 10)$
   • O valor de $a$ tal que $P(90-a \leq X \leq 90+a) = \gamma, \; \gamma=0.95$

4. Faça os seguintes gráficos:
   • da função de densidade de uma variável com distribuição de Poisson com parâmetro $\lambda = 5$
   • da densidade de uma variável $X \sim N(90, 100)$
   • sobreponha ao gráfico anterior a densidade de uma variável $Y \sim N(90, 80)$ e outra $Z \sim N(85, 100)$
   • densidades de distribuições $\chi^2$ com 1, 2 e 5 graus de liberdade.

5. A probabilidade de indivíduos nascerem com certa característica é de 0,3. Para o nascimento de 5 indivíduos e considerando os nascimentos como eventos independentes, estude o comportamento da variável número de indivíduos com a característica e faça um gráfico de sua função de distribuição.

6. Sendo $X$ uma variável seguindo o modelo Normal com média $\mu = 130$ e variância $\sigma^2 = 64$, pergunta-se: (a) $P(X \geq 120)$ (b) $P(135 < X \leq 145)$ (c) $P(X < 120 \;{\rm ou }\; X \geq 150)$

7. (Ex 3.6, pag 65) Num estudo sobre a incidência de câncer foi registrado, para cada paciente com este diagnóstico o número de casos de câncer em parentes próximos (pais, irmãos, tios, filhos e sobrinhos). Os dados de 26 pacientes são os seguintes:

   Paciente	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
   Incidência	2	5	0	2	1	5	3	3	3	2	0	1	1
   Paciente	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
   Incidência	4	5	2	2	3	2	1	5	4	0	0	3	3

   Estudos anteriores assumem que a incidência de câncer em parentes próximos pode ser modelada pela seguinte função discreta de probabilidades:

   Incidência	0	1	2	3	4	5
   $p_i$	0.1	0.1	0.3	0.3	0.1	0.1

   • os dados observados concordam com o modelo teórico?
   • faça um gráfico mostrando as frequências teóricas (esperadas) e observadas.