I.C. para diferença de médias - desvios padrão diferentes

Uma regra prática é que os desvios padrão populacionais $\sigma_1$ e $\sigma_2$ podem em geral ser assumidas iguais se a razão do maior desvio padrão amostral para o menor for menor do que 2 ou 3. Além disso a suposição de variâncias iguais pode ser grosseiramente avaliada através de historgramas dos dados. Testes formais estão disponíveis se necessário.

Se os desvios padrão populacionais não puderem ser assumidos iguais, usamos uma outra fórmula para o erro padrão de $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$, dado por

$$\mbox{SE} = \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}.$$

Note que esta abordagem é usada somente para grandes amostras.

A estaística de teste usando este SE não segue uma distribuição t sob a hipótese nula. Contudo, para tamanhos amostrais razoavelmente grandes (digamos ambos maiores do que 30), podemos comparar a estatística de teste acima com uma distribution Normal padrão (última linha da tabela $t$).

Em nosso exemplo, calculamos um erro padrão de 2.87 kg sob a suposição de igauldade de desvios padrão populacionais para ambos os grupos. A fórmula alternativa (a qual não assume desvios padrão populacionais iguais) resulta em

$$\mbox{SE} = \sqrt{\frac{(7.734)^2}{20} + \frac{(9.750)^2}{17}} = 2.93 \mbox{ kg}$$

que praticamente não defire do valor prévio. Então o intervalo de confiança e o resultado de teste de hipótese seriam virtualmente os mesmos usando este erro padrão.