Diferença entre médias de dois grupos

Na Seção 5.4, vimos como construir um intervalo de confiança para a média populacional $\mu$, de uma amostra aleatória de tamanho $n$. Lembre-se que este intervalo de confiança era da forma $\bar{x} \pm t \times \mbox{SE}$ or ( $\bar{x} - t \times \mbox{SE}$, $\bar{x} + t \times \mbox{SE}$). Agora consideremos a comparação das médias de das populações (por exemplo, machos e fêmeas) através da estimação das diferenças de médias e calculando um intervalo de confiança para esta diferença das médias.

Quando temos amostras independentes de cada uma de duas populações, podemos sumarizá-las pelas suas médias, desvios padrão e tamanhos amostrais. Denote estas medidas por $\bar{x}_1$, $s_1$, $n_1$ para a amostra um e $\bar{x}_2$, $s_2$, $n_2$ para a amostra dois. Denote as correspondentes médias populacionais e desvios padrão $\mu_1$, $\mu_2$, $\sigma_1$ e $\sigma_2$ respectivamente.

Para os dados de alturas dos estudantes da página 13, vamos comparar a altura média dos estudantes do sexo masculino com as dos sexo feminino. Seja os grupo dos homens a amostra um, e o grupo das mulheres a amostra dois. As alturas foram medidas em centímetros e as medidas sumárias foram como segue:

$\bar{x}_1=178.85$,   $s_1=7.734$,   $n_1=20$,
$\bar{x}_2=164.09$,   $s_2=9.750$,   $n_2=17$.

Agora claramente uma estimativa natural da diferença entre médias na população, $\mu_1-\mu_2$, é dada pela diferença nas médias amostrais:

$$\bar{x}_1 - \bar{x}_2,$$

e para nossos dados esta é $178.85- 164.09 = 14.76$. Agora o que precisamos é um erro padrão para esta estimativa para que possamos construir um intervalo de confiança ou realizar um teste da hipótese nula H$_0$: $\mu_1 - \mu_2 = 0$ versus H$_1$: $\mu_1-\mu_2 \neq 0$.