Experimentos fatoriais \(2^2\)
Introdução
Para realizar um experimento fatorial, seleciona-se um número fixo de níveis de cada um dos fatores (variáveis explicativas ou tratamentos), e realiza-se os experimentos em todas as possíveis combinações. Vamos analisar inicialmente experimentos que possuem apenas dois níveis para cada fator, por isso são chamados de experimentos \(2^k\).
|-> número de fatores
2^k = número de observações (mas pode ter repetições)
número de níveis <-|Os fatores podem ser qualitativos ou quantitativos. Dessa forma, dois níveis de uma variável quantitativa podem ser duas temperaturas, ou duas concentrações diferentes. Para fatores qualitativos, os níveis podem ser dois tipos de catalisador ou a presença/ausência de alguma substância.
Experimentos fatorias com dois níveis são extremamente importantes porque:
- Requerem relativamente poucas “corridas” para cada fator estudado.
- A interpretação dos resultados obtidos pode ser feita de forma direta, através do senso comum, aritmética simples e gráficos.
- Quando os fatores são quantitativos, embora não seja possível explorar uma vasta região do espaço do fator, pode-se determinar uma direção para experimentos futuros.
- Os experimentos podem ser convenientemente aumentados quando uma exploração mais completa for necessária, um processo chamado de exploração sequencial.
- Eles formam a base para os experimentos fatoriais fracionados, onde apenas uma parte (cuidadosamente escolhida) de um fatorial completo é realizada. Estes experimentos são de particular interesse quando se deseja fazer uma triagem para determinar os fatores mais importantes de um conjunto muito grande de variáveis (factor screening).
- Experimentos fatorias ou fatorias fracionados são naturalmente utilizados como uma estratégia sequencial de geração de conhecimento, conforme visto anteriormente.
Por isso, os experimentos fatoriais são utilizados em fases exploratórias da região experimental pois permitem estudar com baixo custo um número grande de fatores. Isso permite selecionar os fatores de importância e indica uma nova região experimental para um próximo ensaio. Decorrente do uso de apenas 2 níveis por fator, assume-se que a resposta seja aproximadamente linear ao redor dos níveis dos fatores estudados.
Modelo estatístico
O modelo mais simples de um experimento fatorial \(2^2\) é aquele que possui apenas uma observação para cada combinação dos dois fatores envolvidos, ou seja, não existem repetições, e o experimento possui apenas 4 observações. Nesse caso o modelo é
\[ y_{ij} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \gamma_{ij} + \epsilon_{ij} \]
onde \(\mu\) é a média geral do experimento, \(\alpha_{i}\) é o efeito do \(i\)-ésimo nível do fator A, \(\beta_{j}\) é o efeito do \(j\)-ésimo nível do fator B, \(\gamma_{ij}\) é o efeito da interação entre A e B, e \(\epsilon_{ij}\) é o erro aleatório. Nesse caso particular de um experimento \(2^2\), temos \(i = 1, \ldots, a\), e \(j = 1, \ldots, b\), onde \(a = b = 2\).
Se o experimento possui mais de uma observação por combinação dos fatores A e B, então dizemos que o experimento possui \(r\) réplicas ou repetições. Nesse caso, uma observação na {\(ij\)}-ésima célula para a \(k\)-ésima repetição é denotada por \(y_{ijk}\), e o modelo fica
\[ y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \gamma_{ij} + \epsilon_{ijk} \]
com \(k = 1, \ldots, r\) representando as repetições. Dessa forma, o número total de observações do experimento será \(n = abr\).
Análise de Variância (ANOVA)
Conforme visto anteriormente, vamos considerar um experimento fatorial em um delineamento inteiramente casualizado, supondo que o fator A possui \(a\) níveis, o fator B possui \(b\) níveis, e ocorrem \(r\) repetições de cada combinação dos fatores A e B. Também vamos considerar aqui que todos os fatores são de efeito fixo.
Os modelos acima podem ser escritos na forma matricial como:
\[ \begin{align} \mathbf{Y} &= \mathbf{X}\boldsymbol{\theta} + \boldsymbol{\epsilon} \\ \mathbf{Y} &= \mathbf{X_G}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{X_A}\boldsymbol{\alpha} + \mathbf{X_B}\boldsymbol{\beta} + \mathbf{X_{AB}}\boldsymbol{\gamma} + \boldsymbol{\epsilon} \end{align} \]
Onde as matrizes \(\mathbf{X}\) são partições da matriz de delineamento geral do modelo. Pelo diagrama de Hasse, chegamos à tabela geral de ANOVA para experimentos fatoriais em DIC:
| Fonte de variação | GL | SQ | QM | E[QM] |
|---|---|---|---|---|
| Parcela | \(rab-1\) | \(\mathbf{Y'Q_{P}Y}\) | \(\frac{\mathbf{Y'Q_{P}Y}}{rab-1}\) | |
| ¬¬Fator A | \(a-1\) | \(\mathbf{Y'Q_{A}Y}\) | \(\frac{\mathbf{Y'Q_{A}Y}}{a-1}\) | \(\sigma^2_{P} + q_A(\Psi)\) |
| ¬¬Fator B | \(b-1\) | \(\mathbf{Y'Q_{B}Y}\) | \(\frac{\mathbf{Y'Q_{B}Y}}{b-1}\) | \(\sigma^2_{P} + q_B(\Psi)\) |
| ¬¬A#B | \((a-1)(b-1)\) | \(\mathbf{Y'Q_{AB}Y}\) | \(\frac{\mathbf{Y'Q_{AB}Y}}{(a-1)(b-1)}\) | \(\sigma^2_{P} + q_{AB}(\Psi)\) |
| ¬¬Resíduo | \(ab(r-1)\) | \(\mathbf{Y'Q_{Res}Y}\) | \(\frac{\mathbf{Y'Q_{Res}Y}}{ab(r-1)}\) | \(\sigma^2_{P}\) |
As hipóteses a serem testadas, como vistas pela \(E[QM]\) são então:
\[ \text{H}_0: q_A(\Psi) = 0 \qquad \text{H}_0: q_B(\Psi) = 0 \qquad \text{H}_0: q_{AB}(\Psi) = 0 \]
Que são hipóteses equivalentes a:
\[ \begin{align} \text{H}_0 &: \alpha_1 = \cdots = \alpha_a = 0 \\ \text{H}_1 &: \text{pelo menos um}\ \alpha_i \neq 0 \\ \end{align} \]
\[ \begin{align} \text{H}_0 &: \beta_1 = \cdots = \beta_b = 0 \\ \text{H}_1 &: \text{pelo menos um}\ \beta_j \neq 0 \\ \end{align} \]
\[ \begin{align} \text{H}_0 &: \gamma_{11} = \cdots = \gamma_{ab} = 0 \\ \text{H}_1 &: \text{pelo menos um}\ \gamma_{ij} \neq 0 \\ \end{align} \]
Dessa forma os testes F associados às hipóteses acima são:
\[ \begin{align} F_A &= \frac{\textrm{QMA}}{\textrm{QMRes}} \\ F_B &= \frac{\textrm{QMB}}{\textrm{QMRes}} \\ F_{AB} &= \frac{\textrm{QMAB}}{\textrm{QMRes}} \end{align} \]
Geralmente na ANOVA fatorial, a interação é analisada por primeiro. Caso a interação seja significativa, então os efeitos principais (que podem ou não ser também significativos) não possuem muito valor prático, pois não faz sentido analisar os efeitos isoladamente quando eles dependem entre si. Caso a interação não seja significativa, ela pode ser retirada do modelo e a interpretação sobre os efeitos principais é direta.
Estimação dos efeitos
A ANOVA para experimentos fatoriais determina quais fatores são importantes, ou seja, aqueles que possuem influência na variável resposta. Como mencionado anteriormente, caso a interação entre dois fatores seja significativa, analisa-se apenas a interação, pois o comportamente de uma variável é influenciado pela presença da outra (e vice-versa), e não faz sentido analisá-las individualmente. Nesse caso não importa se os outros fatores são significativos ou não, mas sempre deve-se preservá-los no modelo pelo princípio da marginalidade.
Caso a interação seja não significativa, esse termo pode ser removido do modelo, e analisa-se os efeitos dos fatores individuais. Caso um dos fatores seja também não significativo, então remove-se esse termo do modelo e obtém-se um modelo de um fator simples. (Se nenhum deles for significativo, seu melhor modelo é a média geral!)
Após realizar a ANOVA e verificar quais fatores são importantes, o interesse está então em se analisar qual o efeito que cada nível de cada fator (ou da interação) possui sob a variável resposta. A análise dos efeitos irá demonstrar se determinado nível possui influência positiva ou negativa sob a variável, e se essa influência é estatisticamente significativa (através de um teste \(t\) sob a hipótese nula de que o efeito é zero).
Os efeitos nada mais são do que os coeficientes dos parâmetros estimados do modelo. Nesse caso, lembre-se que em modelos de ANOVA, para que os parâmetros possam ser estimados é necessário redefinir o modelo, ou utilizar algum tipo de restrição para qua a matriz \(\mathbf{X}\) do modelo seja de posto completo e possa ser invertida. Sendo assim, é de se esperar que as estimativas dos efeitos sejam dependentes do tipo de parametrização ou restrição adotada. (Isso é o oposto do que acontece na ANOVA, pois as somas de quadrados são invariantes quanto ao tipo de restrição adotada).
Vimos que existem várias formas de restrição para tornar a matriz \(\mathbf{X}\) de posto completo, entre elas a restrição de zerar o primeiro nível de um fator (padrão no R) e a restrição soma zero.
Apesar da restrição de zerar o primeiro nível ser muito comum (principalmente por ser o padrão no R), existem vários motivos (que veremos mais adiante) para se utilizar a restrição do tipo soma zero. Entre esses motivos estão questões históricas (o desenvolvimento principal da teoria foi realizada com esta restrição por Frank Yates), e a facilidade da interpretação dos efeitos estimados. Convém ressaltar que o tipo de restrição muda apenas a forma como se interpretam os efeitos, e não tem a capacidade de alterar a interpretação final dos resultados (um nível significativo sempre será significativo, independente da restrição adotada).
Usando restrição soma zero
Os experimentos fatorias em geral satisfazem as condições regulares (fatores ortogonais e balanceamento) e nesse caso as médias amostrais podem ser usadas para estimar os efeitos dos fatores. Isso facilita a execução da análise que pode ser feita no local do experimento com lápis e papel, outro experimento pode ser realizado em seguida a partir das conclusões tiradas.
Os efeitos como contrastes entre médias são obtidos através do contraste soma zero. Para obter esse contraste em um experimento fatorial com dois fatores, considere que:
\[ \sum_{i=1}^{a} \alpha_i = 0 \qquad \sum_{j=1}^{b} \beta_j = 0 \qquad \sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} \gamma_{ij} = 0 \]
Se considerarmos um experimento fatorial \(2^2\) sem repetição então temos as seguintes equivalências:
\[ \begin{align} \alpha_1 + \alpha_2 = 0 \quad &\Rightarrow \quad \alpha_2 = -\alpha_1 \\ \beta_1 + \beta_2 = 0 \quad &\Rightarrow \quad \beta_2 = -\beta_1 \\ \gamma_{11} + \gamma_{12} + \gamma_{21} + \gamma_{22} = 0 \quad &\Rightarrow \quad \gamma_{22} = -\gamma_{11} - \gamma_{12} - \gamma_{21} \end{align} \]
Portanto, o modelo fica:
\[ \begin{align} y_{11} &= \mu + \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_{11} + \epsilon_{11} \\ y_{12} &= \mu + \alpha_1 - \beta_1 - \gamma_{12} + \epsilon_{12} \\ y_{21} &= \mu - \alpha_1 + \beta_1 - \gamma_{21} + \epsilon_{21} \\ y_{22} &= \mu - \alpha_1 - \beta_1 + \gamma_{22} + \epsilon_{22} \end{align} \]
E a matriz \(\mathbf{X}\) do modelo fica:
\[ \mathbf{X} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \]
Considerando o vetor de respostas na ordem padrão
\[ \mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_{11} \\ y_{12} \\ y_{21} \\ y_{22} \end{bmatrix} \]
Podemos mostrar que a solução de mínimos quadrados dada por
\[ \boldsymbol{\hat\beta} = \mathbf{(X'X)^{-1} X'y} \]
resulta em:
\[ \boldsymbol{\hat\beta} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} y_{11} + y_{12} + y_{21} + y_{22} \\ (y_{11} + y_{12}) - (y_{21} + y_{22}) \\ (y_{11} + y_{21}) - (y_{12} + y_{22}) \\ (y_{11} + y_{22}) - (y_{12} + y_{21}) \\ \end{bmatrix} \]
Note que, seguindo as linhas dessa matriz:
\[ \begin{align} \frac{1}{4} (y_{11} + y_{12} + y_{21} + y_{22}) &= \bar{y} \\ \frac{1}{2} \left[ \frac{(y_{11} + y_{12})}{2} - \frac{(y_{21} + y_{22})}{2} \right] &= \frac{1}{2} (\bar{y}_{1j} - \bar{y}_{2j}) \\ \frac{1}{2} \left[ \frac{(y_{11} + y_{21})}{2} - \frac{(y_{12} + y_{22})}{2} \right] &= \frac{1}{2} (\bar{y}_{i1} - \bar{y}_{i2}) \\ \frac{1}{2} \left[ \frac{(y_{11} + y_{22})}{2} - \frac{(y_{12} + y_{21})}{2} \right] &= \frac{1}{2} (\bar{y}_{ii} - \bar{y}_{ij}) \end{align} \]
Portanto, pode-se notar que:
- O primeiro coeficiente é a média geral do experimento
- Os efeitos dos fatores são calculados como as diferenças entre as médias dos níveis de cada fator
- O efeito da interação é a diferença entre as médias “cruzadas” de cada fator
Usando esquema de sinais
Uma outra forma de se chegar ao mesmo resultado é através do chamado esquema de sinais. Esse sistema é exatamente igual à restrição soma zero, mas tem a vantegam de poder ser representado geometricamente, o que pode facilitar a visualização e interpretação dos efeitos de experimentos fatorias mais complicados.
Nomenclatura:
- Fatores são representados por letras maiúsculas (A, B, C…)
- Os níveis de um fator são chamados de ALTO e BAIXO
- Um tratamento (combinação de fatores) é identificado por letras minúsculas
- Quando uma letra minúscula está presente é porque o fator correspondente ocorre no nível ALTO
Esquema de sinais:
- O sinal
+é associado ao nível ALTO e-ao nível baixo - A combinação de tratamentos com ambos os niveis baixos é representado por
(1) - Os sinais das interações são obtidos pelo produto dos sinais dos fatores envolvidos
Dessa forma, para um fatorial \(2^2\), o experimento pode ser representado geometricamente por:
[+] b_________ab
| |
B | |
| |
[-] (1)________a
[-] A [+]E a chamada tabela de sinais é desenvolvida da seguinte forma:
----------------------------------------------------
Nomenclatura Sinais Descrição
----------------------------------------------------
A B AB
(1) - - + A e B níveis baixos
a + - - A alto e B baixo
b - + - A baixo e B alto
ab + + + A e B níveis altos
----------------------------------------------------Note que os sinais dos fatores na tabela de sinais é exatamente igual à restrição soma zero utilizada anteriormente. A ordem de entrada dos fatores e dos níveis nessa tabela é devido ao desenvolvimento de Frank Yates, e por isso, é chamada de ordem de Yates. A única diferença é que na ordem padrão da restrição soma zero, as observações no vetor \(\mathbf{y}\) estavam dispostas como \(\mathbf{y} = [y_{11}, y_{12}, y_{21}, y_{22}]'\), indicando que o nível alto do fator A é a observação \(y_{21}\) e o nível alto do fator B por \(y_{12}\).
Para manter as observações no ordem de Yates é necessário apenas inverter essas duas linhas, e assim ficamos com a equivalência:
\[ \mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_{11} \\ y_{21} \\ y_{12} \\ y_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1) \\ a \\ b \\ ab \end{bmatrix} \]
Dessa forma, a matriz \(\mathbf{X}\) fica:
\[ \mathbf{X} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \]
E a solução de mínimos quadrados é dada por:
\[ \boldsymbol{\hat\beta} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} y_{11} + y_{12} + y_{21} + y_{22} \\ (y_{21} + y_{22}) - (y_{11} + y_{12}) \\ (y_{12} + y_{22}) - (y_{11} + y_{21}) \\ (y_{11} + y_{22}) - (y_{12} + y_{21}) \\ \end{bmatrix} \]
Dessa forma, tem-se que
\[ \begin{align} \frac{1}{4} (y_{11} + y_{12} + y_{21} + y_{22}) &= \bar{y} \\ \frac{1}{2} \left[ \frac{(y_{21} + y_{22})}{2} - \frac{(y_{11} + y_{12})}{2} \right] &= \frac{1}{2} (\bar{y}_{2j} - \bar{y}_{1j}) \\ \frac{1}{2} \left[ \frac{(y_{12} + y_{22})}{2} - \frac{(y_{11} + y_{21})}{2} \right] &= \frac{1}{2} (\bar{y}_{i2} - \bar{y}_{i1}) \\ \frac{1}{2} \left[ \frac{(y_{11} + y_{22})}{2} - \frac{(y_{12} + y_{21})}{2} \right] &= \frac{1}{2} (\bar{y}_{ii} - \bar{y}_{ij}) \end{align} \]
Ou seja, a interpretação é a mesma, apenas mudam as comparações que agora são entre a média do nível alto menos a média do nível baixo (i.e. muda apenas o sinal).
Com o esquema de sinais, podemos escrever o vetor \(\mathbf{y}\) como
\[ \mathbf{y} = \begin{bmatrix} (1) \\ a \\ b \\ ab \end{bmatrix} \]
e assim a solução de mínimos quadrados fica
\[ \boldsymbol{\hat\beta} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} a + b + ab + (1) \\ (a + ab) - ((1) + b) \\ (b + ab) - ((1) + a) \\ ((1) + ab) - (a + b) \\ \end{bmatrix} \]
Sendo que:
\[ \begin{align} \frac{1}{4} (a + b + ab + (1)) &= \bar{y} \\ \frac{1}{2} \left[ \frac{(a + ab)}{2} - \frac{((1) + b)}{2} \right] &= \frac{1}{2} (\bar{y}_{A+} - \bar{y}_{A-}) \\ \frac{1}{2} \left[ \frac{(b + ab)}{2} - \frac{((1) + a)}{2} \right] &= \frac{1}{2} (\bar{y}_{B+} - \bar{y}_{B-}) \\ \frac{1}{2} \left[ \frac{((1) + ab)}{2} - \frac{(a + b)}{2} \right] &= \frac{1}{2} (\bar{y}_{AB+} - \bar{y}_{AB-}) \end{align} \]
Onde \(\bar{y_{A+}}\) e \(\bar{y_{A-}}\) são as médias dos níveis alto e baixo do fator A, respectivamente. Os demais são similares. Perceba então que os efeitos são sempre um contraste, ou seja, uma diferença entre as médias dos níveis alto e baixo de um mesmo fator.
Note que essa diferença é sempre dividida por 2, ou seja, na verdade, é a metade da diferença entre as médias. Isso é consequência do fato de que estes coeficientes são calculados com base em um modelo linear, onde os parâmetros medem a alteração na variável resposta (\(\mathbf{Y}\)) causada pela variação de uma unidade nas variáveis explicativas (\(\mathbf{X}\)). Por isso, os coeficientes estimados dessa forma são chamados de semi-amplitude dos efeitos.
Como pode ser visto na representação geométrica do experimento, a diferença entre as médias dos níveis alto e baixo de um fator é dada pela variação de duas unidades (entre -1 e +1). Dessa forma, dizemos que a amplitude dos efeitos de um fator mede o efeito ao se passar do nível baixo (-1) para o nível alto (+1). Assim definimos o efeito de um fator como sendo duas vezes a estimativa dos coeficientes dos níveis de cada fator.
Assim, temos:
\[ \begin{align} Ef_A = \bar{y}_{A+} - \bar{y}_{A-} = \frac{(a + ab) - ((1) + b)}{2} = \frac{contr_A}{2} \\ Ef_B = \bar{y}_{B+} - \bar{y}_{B-} = \frac{(b + ab) - ((1) + a)}{2} = \frac{contr_B}{2} \\ Ef_{AB} = \bar{y}_{AB+} - \bar{y}_{AB-} = \frac{((1) + ab) - (a + b)}{2} = \frac{contr_{AB}}{2} \end{align} \]
As quantidades no numerador são chamadas de contrastes, que são então apenas as diferenças entre os níveis alto e baixo de um fator.
Como existem \(r2^{k-1}\) observações para cada combinação dos fatores, então, para qualquer experimento \(2^k\), as estimativas dos efeitos podem ser calculadas de forma geral como:
\[ \begin{align} Ef_A &= \frac{contr_A}{r2^{k-1}} \\ Ef_B &= \frac{contr_B}{r2^{k-1}} \\ Ef_{AB} &= \frac{contr_{AB}}{r2^{k-1}} \end{align} \]
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