A distribuição Poisson

Uma outra distribuição comum é a distribuição Poisson, e é frequentemente usada para modelar o número de ocorrências de um evento por um certo período de tempo ou por um certo volume ou por uma certa área. Por exemplo, para descrever o número de nematóides encontrados em amostras de solo, o número diário de novos casos de câncer de mama, ou o número de células contadas usando um hemocitrômetro. O histograma abaixo mostra o número de organismos encontrados em cada um de 400 quadrados pequenos.

\begin{figure}\centerline{\psfig{figure=figuras/cellsbar.ps,width=3.5in}}
\end{figure}

A distribuição Poisson tem apenas um parâmetro, $\lambda$ que é interpretado como uma taxa média de ocorrência do evento, e a probabilidade de ocorrerem exatamente $x$ eventos é dada por

\begin{displaymath}
P(X=x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!},
\end{displaymath} (7)

em que $e \approx 2,7183$, e $\lambda>0$. A variância de uma Poisson é igual à sua média, $\lambda$.

Quando $\lambda=4.68$, por exemplo, a distribuição fica assim:

\begin{figure}\centerline{\psfig{figure=figuras/poisbar.ps,width=3.5in}}
\end{figure}

As suposições básicas para a utilização do modelo são:

  1. as condições do experimento permanecem constantes no decorrer do tempo, ie, a taxa média de ocorrência ($\lambda$) é constante ao longo do tempo.
  2. intervalos de tempo disjuntos são independentes, ie, a informação sobre o número de ocorrências em um período nada revela sobre o número de ocorrências em outro período.

Exemplo: Ver exemplo 4.3.2 página 95 da apostila

Exercício: Um investigador está interessado no número de ovos depositados por uma espécie de pássaro. Na primavera, ele procura e acha 80 ninhos. O número médio de ovos por ninho foi 3,8 e a variância foi 3,1. Porque a variância é aproximadamente igual á média, ele acha que pode ser razoável descrever o número de ovos por ninho como tendo uma distribuição Poisson com média 3,8.

a.
Se esta realmente representa a distribuição populacional, qual seria a probabilidade de encontrar um ninho com mais do que 5 ovos?
b.
Qual seria a probabilidade de não encontrar nenhum ovo num ninho?
c.
A maior concentração da distribuição está em torno de que valor?

Silvia Shimakura 2005-11-08