A distribuição Binomial

Considere um experimento realizado $n$ vezes, sob as mesmas condições, com as seguintes características:

  1. cada repetição do experimento (ou ensaio) produz um de dois resultados possíveis, denominados tecnicamente por sucesso (S) ou fracasso (F), ie os resultados são dicotômicos.
  2. a probabilidade de sucesso, $P(S)=p$, é a mesma em cada repetição do experimento. (Note que $P(F)=1-p$).
  3. os ensaios são independentes, ie o resultado de um ensaio não interfere no resultado do outro.
As quantidades $n$ e $p$ são os parâmetros da distribuição binomial. O número total de sucessos $X$ é uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetros $n$ e $p$ e é por denotada $X \sim B(n,p)$.

A probabilidade de $X=x$, pode ser encontrada como:

\begin{displaymath}
P(X=x)  =  \frac{n!}{x!(n-x)!} p^x (1-p)^{n-x},   x=\{0,1,2,\cdots\}
\end{displaymath} (5)

A média de um variável aleatória binomial é $np$ e a variância é $np(1-p)$.

Para melhor entendimento considere o seguinte exemplo:

Suponha que num pedigree humano envolvendo albinismo (o qual é recessivo), nós encontremos um casamento no qual sabe-se que ambos os parceiros são heterozigotos para o gene albino. De acordo com a teoria Mendeliana, a probabilidade de que um filho desse casal seja albino é um quarto. (Então a probabilidade de não ser albino é $\frac{3}{4}$.)

Agora considere o mesmo casal com 2 crianças. A chance de que ambas sejam albinas é $(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16} = 0.0625$. Da mesma forma, a chance de ambas serem normais é $(\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16} = 0.5625$. Portanto, a probabilidade de que somente uma seja um albina deve ser $1-\frac{1}{16} - \frac{9}{16} =
\frac{6}{16} = \frac{3}{8} = 0.375$.

Alternativamente, poderiamos ter usado a formula acima definindo como variável aleatória X o número de crianças albinas, com $n=2$, $p=\frac{1}{4}$, e estariamos interessados em $P(X=1)$.

Se agora considerarmos a família com $n=5$ crianças, as probabilidades de existam $x=0,1,2,\ldots,5$ crianças albinas, em que a probabilidade de albinismo é $p=\frac{1}{4}$, são dadas por

\begin{displaymath}
P(X=x)  =  \frac{5!}{x!(5-x)!} \left(\frac{1}{4}\right)^x
\left(\frac{3}{4}\right)^{5-x}
\end{displaymath} (6)

as quais ficam como segue.

\begin{figure}\centerline{\psfig{figure=figuras/binbar.ps,width=3.1in}}
\end{figure}

O número esperado (ou média) de crianças albinas em famílias com 5 crianças para casais heterozigotos para o gene albino é $np=5 \times \frac{1}{4}=1,25$.

Exercício: Você leva sua cadela ao veterinário e descobre através de um exame de ultrasonografia que ela está grávida com uma ninhada de 8 filhotes.

a.
Qual é a probabilidade de que exatamente 3 dos filhotes sejam fêmeas?
b.
Qual é a probabilidade de que existam um número igual de machos e fêmeas?
c.
Qual é a probabilidade de que existam mais machos do fêmeas?

Silvia Shimakura 2005-11-08