Definições

Seja $x_1, x_2, \ldots, x_n$ o conjunto das medidas de uma das variáveis (alturas dos pais), e seja $y_1,y_2,\ldots,y_n$ as medidas da outra variável (alturas dos filhos). Seja $\bar{x}$, $\bar{y}$, $s_x$ e $s_y$ as médias e desvios padrão amostrais dos dois conjuntos de dados.

Primeiro calcule para cada indivíduo:

$$c_i = (x_i - \bar{x}) \times (y_i -\bar{y}).$$

Se valores altos de $x$ tendem a acompanhar valores altos de $y$, e se valores baixos de $x$ acompanham valores baixos de $y$ então $c_i$ tenderá a ser positivo em sua maioria.

Se valores altos de $x$ acompanham valores baixos de $y$ e vice-versa então a maioria dos valores $c_i$ serão negativos.

Se não existir associação entre $x$ e $y$ então se tomarmos a média aritmética dos valores $c_i$, valores positivos e negativos tenderão a se cancelar.

Para obter uma medida do grau de associação da relação linear entre duas variáveis, usamos o coeficiente de correlação de Pearson, definido como:

$$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y}.$$

em que

$$s_{xy} = \frac{ \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n-1}.$$

é a covariância amostral de $x$ e $y$ e é essencialmente a média dos valores de $c_i$ acima, note que ela é similar à variância amostral.

Para os dados do exemplo acima, temos $n=10$, $\bar{x}=171.62$, $\bar{y}=172.74$, $s_x=9.45$, $s_y=10.01$, $s_{xy}=92.36$ a partir dos quais podemos calcular que $r=0.976$.

Assim como para médias e desvios padrão, existe uma letra Grega especial que utlizamos para o coeficiante de correlação populacional: $\rho$. Podemos considerar $r$ como sendo uma estimativa de $\rho$, exatamente como $\bar{x}$ é uma estimativa da média populacional $\mu$.

Abaixo estão exemplos de dados com seus coeficientes de correlação correspondentes.