Razão de odds

O risco relativo não pode ser estimado em estudos de caso-controle porque, neste tipo de estudos, as incidências observadas são meras consequências do número escolhido de casos e controles e não características dos grupos em estudo.

Para exemplificar, vamos supor que os dados resultantes de um estudo caso-controle (esquema 1:1):

Tabela 28: Frequências observadas num estudo hipotético de caso-controle (esquema 1:1)

Grupo	Fator de exposição
	Presente	Ausente	Total
Casos	$80$	$20$	$100$
Controles	$30$	$70$	$100$
Total	$110$	$90$	$200$

Utilizando o estimador de $P_1$ e $P_0$ obtemos: $\hat{P}_1=\frac{80}{110}=0,73$ e $\hat{P}_0=\frac{20}{90}=0,22$.

Se no entanto, tivessemos definidos dois controles para cada caso (esquema 1:2), teríamos a seguinte tabela:

Tabela 29: Frequências observadas num estudo hipotético de caso-controle (esquema 1:2)

Grupo	Fator de exposição
	Presente	Ausente	Total
Casos	$80$	$20$	$100$
Controles	$60$	$140$	$200$
Total	$140$	$160$	$300$

Utilizando o estimador de $P_1$ e $P_0$ obtemos desta vez: $\hat{P}_1=\frac{80}{140}=0,57$ e $\hat{P}_0=\frac{20}{160}=0,13$.

Para este tipo de estudos define-se o efeito da exposição de um forma alternativa denominada razão das odds (Odds Ratio):

• Define-se a odds de se desenvolver a doença entre os expostos por $\frac{P_1}{Q_1}$ e entre os não expostos como $\frac{P_0}{Q_0}$.
• A razão das odds $(\psi)$ é:
  $$\psi=\frac{\frac{P_1}{Q_1}}{\frac{P_0}{Q_0}}=\frac{P_1Q_0}{P_0Q_1}$$

• O estimador de $\psi$ é dado por
  $$\hat{\psi}=\frac{\frac{a/(a+c)}{c/(a+c)}}{\frac{b/(b+d)}{d/(b+d)}}=\frac{ad}{bc}$$

Por razões teóricas a variação de $\hat{\psi}$ é mais facilmente calculada na escala logaritmica. Pode-se provar que $ln \hat{\psi}$ tem aproximadamente distribuição gaussiana com média $ln \psi$ e variância estimada por:

$$Var(ln \hat{\psi})=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$$

Podemos assim construir intervalos de confiança para $ln \psi$

$$\left[ln \hat{\psi}-z^* \sqrt{Var(ln \hat{\psi})} ; ln \hat{\psi}+z^* \sqrt{Var(ln \hat{\psi})}\right]$$

onde $Z^*$ é o percentil obtido da distribuição gaussiana padrão tal que $P(-z^*<Z<z^*)=1-\alpha$.

Se este intervalo contém o zero (correspodendo ao valor 1 para a razão de odds) então a associação entre a doença e o fator não é estatisticamente significativa.

O intervalo de confiança para $\psi$ é obtido exponenciando-se os limites inferior e superior do intervalo.

Motivos para a adoção da razão de odds como a forma de se medir associação entre fator de risco e doença:

1. Usualmente as doenças são raras, isto é, $P_1$ e $P_0$ são pequenos e portanto $Q_1=Q_0 \approx 1$. Nesta situação, $\psi \approx \frac{P_1}{P_0}=RR$.
2. $\psi$ pode ser estimado com dados de qualquer tipo de estudo.