Intervalo de confiança

Diferentes amostras podem ser retiradas de uma mesma população, e amostras diferentes podem resultar em estimativas diferentes. Isto é, um estimador é uma variável aleatória, podendo assumir valores diferentes para cada amostra.

Então, ao invés de estimar o parâmetro de interesse por um único valor, é muito mais informativo estimá-lo por um intervalo de valores que considere a variação presente na amostra e que contenha o seu verdadeiro valor com determinada confiança.

Este intervalo é chamado de intervalo de confiança.

Para construir um intervalo de confiança precisamos conhecer a distribuição de probabilidade do estimador. Lembre que um estimador é uma variável aleatória e que uma variável aleatória é completamente caracterizada por sua distribuição de probabilidade.

Por exemplo, o intervalo de confiança para $\mu$, é obtido usando o seguinte resultado da Teoria Estatística:

$$T=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}$$

Então, mesmo não se conhecendo $\mu$, podemos calcular probabilidades envolvendo a estatística $T$.

Isso nos permite construir o intervalo de confiança para $\mu$ da seguinte forma:

Através da tabela da distribuição $t_{n-1}$ obtemos um valor $t^*$ tal que

$$P(-t^* \leq t_{n-1} \leq t^*)=1-\alpha$$

ou seja,

$$P(-t^* \leq \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \leq t^*)=1-\alpha$$

que pode ser reescrita como

$$P(\bar{X}-t^* \frac{S}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}+t^* \frac{S}{\sqrt{n}})=1-\alpha$$

Assim, um intervalo de confiança para $\mu$ com nível de confiança $100(1-\alpha)$% é dado por

$$\left[\bar{X}-t^* \frac{S}{\sqrt{n}} ; \bar{X}+t^* \frac{S}{\sqrt{n}}\right]$$

Portanto, o intervalo de confiança para $\mu$ é centrado na estimativa do efeito, e varia de uma quantidade $t^*$ desvios-padrão para baixo até o mesmo número de desvios-padrão para cima.