Estimadores

É razoável admitir que o nível sanguíneo de vitamina A tem distribuição gaussiana.

Com esta especificação, o problema se reduz a encontrar estimativas para os dois parâmetros da distribuição $(\mu,\sigma)$.

A teoria estatística tem várias soluções para este problema. Uma possível solução é dada pelo método da máxima verossimilhança.

Intuitivamente, este método baseia-se no seguinte princípio:

''entre todos os valores possíveis para os parâmetros ( $\mu, \sigma$), escolhemos aqueles que são mais prováveis de terem produzido o conjunto de dados observado.''

Figura 41: Função de verossimilhança para $\mu$ assumindo $\sigma$ conhecido.

Figura 42: Contornos de verossimilhança para $\mu$ e $\sigma$.

Figura 43: Superfície de verossimilhança para $\mu$ e $\sigma$.

Assumindo que os níveis de vitamina A são representados por $X_1, X_2, \cdots, X_n$ ($n=41$), e representando por $\hat{\mu}$ e $\hat{\sigma}^2$ os estimadores fornecidos pelo método da máxima verossimilhança, temos que

$$\hat{\mu}=\bar{X}$$

$$\hat{\sigma}^2=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2}{n}$$

Recomendamos, entretanto, para $\sigma^2$ o seguinte estimador:

$$\hat{S}^2=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2}{n-1}$$

Existem motivos teóricos e práticos para esta indicação que fogem ao nível teórico pretendido neste material.

Estes dois estimadores são chamados de pontuais, pois fornecem apenas um único valor de estimativa do parâmetro.

A questão da sua variabilidade é tratada pela construção de um intervalo de confiança.