A distribuição Binomial

A distribuição binomial é um exemplo de uma distribuição discreta. Ela lida com situações em que cada resultado de uma série de ensaios independentes resulta num dentre dois resultados possíveis.

Mais formalmente, considere um ensaio realizado $n$ vezes, sob as mesmas condições, com as seguintes características:

1. cada repetição do ensaio produz um dentre dois resultados possíveis, denominados tecnicamente por sucesso (S) ou fracasso (F), ou seja, a resposta é dicotômica.
2. a probabilidade de sucesso, $P(S)=p$, é a mesma em cada repetição do experimento. (Note que $P(F)=1-p$).
3. os ensaios são independentes, ou seja, o resultado de um ensaio não interfere no resultado do outro.

O número total de sucessos $X$ é uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetros $n$ e $p$ e é por denotada $X \sim B(n,p)$.

De maneira genérica, a probabilidade de $X=x$, pode ser encontrada como:

$$P(X=x)  =  \frac{n!}{x!(n-x)!} p^x (1-p)^{n-x},   x=\{0,1,2,\cdots\}.$$ (5)

A média de um variável aleatória binomial é $np$ e a variância é $np(1-p)$.