A distribuição Binomial

Suponha que $n$ experimentos independentes, ou ensaios, são executados, onde $n$ é um número fixo, e que cada experimento resulta num ``sucesso'' com probabilidade $p$ e numa ``falha'' com probabilidade $1-p$. O número total de sucessos, $X$, é uma variável aleatória com parâmetros $n$ e $p$.

Por exemplo, uma moeda é lançada 10 vezes e o número total de caras é contado (aqui ``cara'' é um sucesso).

A probabilidade que $X=k$, denotada por $P(k)$, pode ser encontrada como:

$$P(X=k)  =  P(k)  =  \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k (1-p)^{n-k}.$$ (4)

A média de um variável aleatória Binomial é $np$ e a variância é $np(1-p)$.

Considere o seguinte exemplo. Suponha que num pedigree humano envolvendo albinismo (o qual é recessivo), nós encontremos um casamento no qual sabe-se que ambos os parceiros são heterozigotos para o gene albino. De acordo com a teoria Mendeliana, a probabilidade de que um filho desse casal seja albino é um quarto. (Então a probabilidade de não ser albino é $\frac{3}{4}$.)

Agora considere o mesmo casal com 2 crianças. A chance de que ambas sejam albinas é $(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16} = 0.0625$. A desma forma, a chance de ambas serem normais é $(\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16} = 0.5625$. Portanto, a probabilidade de que somente uma seja um albina deve ser $1-\frac{1}{16} - \frac{9}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} = 0.375$. Alternativamente, poderiamos ter usado a formula acima com $n=2$, $p=\frac{1}{4}$, and $k=1$.

Se agora considerarmos a família com $n=5$ crianças, as probabilidades de existam $k=0,1,2,\ldots,5$ crianças albinas, onde a probabilidade de albinismo é $p=\frac{1}{4}$, são dadas por

$$P(k)  =  \frac{5!}{k!(5-k)!} \left(\frac{1}{4}\right)^k \left(\frac{3}{4}\right)^{5-k}$$ (5)

as quais ficam como segue.