Teste para uma proporção

Agora suponha que tenhamos um valor hipotético $p_0$ para uma proporção. Podemos realisar um teste de H$_0: p=p_0$ praticamente da mesma forma que o test-t acima. A dualidade com intervalos de confiança segue exatamente da mesma forma.

Suponha que tenhamos uma amostra aleatória de tamanho $n$ de uma população de interesse onde a verdadeira proporção de membros numa categoria em particular é $p$. A hipótese nula é H$_0:  p = p_0$. Se o número observado na categoria de interesse é $x$, então um teste da hipótese é como segue:

1. Estabeleça a hipótese nula, H$_0:  p = p_0$, e a hipótese alternativa H $_1:  p \neq p_0$.
2. Calcule a proporção amostral $\hat{p}=x/n$.
3. Calcule o erro padrão, SE $=\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$.
4. Calcule $t=(\hat{p}-p_0)/{\rm SE}$, o número de erros padrão que $\hat{p}$ dista do valor de hipótese $p_0$.
5. Encontre o $p$-valor usando o valor absoluto da estatística de teste da tabela da distribuição normal (ou equivalentemente da $t$ com $r=\infty$ graus de liberdade).

Uma regra geral é que este teste é válido quando quando temos ambos $n \hat{p}$ e $n (1-\hat{p})$ maiores do que digamos 10.

Exemplo:

Suponha que alguém tenha sugerido de experiências passadas que 60% das larvas de mosquito num certo lago deveriam ser da espécie Aedes detritus. Foram encontrados 60 desse tipo de uma amostra de 80. Os dados suportam esta hipóteste?

Exercício

1. Um amigo sugere que você lance uma moeda para ajudar você a tomar uma decisão muito importante, o resultado também o afetará. Seu amigo sugere que você escolha cara para tomar a decisão A, e coroa para tomar a decisão B a qual é a preferida por ele. O único problema é que seu amigo insiste que você use uma moeda ``da sorte'' dele. Você fica um pouco suspeito e decide fazer um experimento enquanto seu amigo não está olhando. Você lança a moeda 40 vezes e cara aparece somente 13 vezes. Realize um teste estatístico para ajudá-lo na decisão se você deve ou não acreditar que a moeda é balanceada. Qual a sua conclusão?

2. Suponha que estejamos interessados em estimar a proporção de todos os motoristas que excedem o limite máximo de velocidade num trecho da rodovia entre Curitiba-São Paulo. Quão grande deve ser a amostra para que estejamos pelo menos 99% confiantes de que o erro de nossa estimativa, a proporção amostral, seja no máximo 0.04?

3. Refaça o exercício anterior, sabendo que temos boas razões para acreditar que a proporção que estamos tentando estimar é no mínimo 0.65.