Vimos neste capítulo como construir intervalos para alguns parâmetros populacionais. Em todos os casos, fixamos o nível de confiança dos intervalos de acordo com a probabilidade de acerto que desejamos ter na estimação por intervalo.
Sendo conveniente, o nível de confiança pode ser aumentado até tão próximo de 100% quanto se queira, mas isso resultará em intervalos de amplitude cada vez maiores, o que significa perda de precisão na estimação.
Seria desejável termos intervalos com alto nível de confiança e grande precisão. Isso porém requer uma amostra suficientemente grande, pois, para fixo, a confiança e a precisão variam em sentidos opostos.
Veremos a seguir como determinar o tamanho das amostras necessárias nos casos de estimação da média ou de uma proporção populacional.
Vimos que o intervalo de confiança de 95% para a média
da população quando é conhecido tem semi-amplitude (ou precisão)
dada pela expressão
Ora, o problema então resolvido foi, fixados o nível de confiança () e , determinar . Mas, é evidente dessa expressão que podemos resolver outro problema.
Fixados, (ou seja, fixada a precisão) e o nível de confiança, determinar , que é o problema da determinação do tamanho de amostra necessário para se realizar a estimação por intervalo com a confiança e a precisão desejadas.
Vemos imediatamente que
Não conhecendo o desvio-padrão da população, deveríamos subtituí-lo por sua estimativa e usar de Student na expressão acima.
Ocorre porém que não tendo ainda sido retirada a amostra, não dispomos em geral do valor de . Se não conhecemos nem ao menos um limite superior para , a única solução será colher uma amostra-piloto de elementos para, com base nela obtermos uma estimativa de , empregando a seguir a expressão
Se , a amostra-piloto já terá sido suficiente para a estimação. Caso contrário, deveremos retirar, ainda, da população os elementos necessários à complementação do tamanho mínimo de amostra.
Procedemos de forma análoga se desejamos estimar uma proporção
populacional com determinada confiança e dada precisão. No caso de
população suposta infinita, da expressão
O obstáculo à determinação do tamanho de amostra por meio da expressão acima está em desconhecermos .
Essa dificuldade pode ser resolvida através de uma amostra-piloto, analogamente ao caso descrito para a estimação de , ou analisando-se o comportamento do fator para .
Vê-se da Figura 36 a seguir que é a expressão de uma parábola cujo ponto de máximo é .
Se substituirmos, por seu valor máximo, 1/4, seguramente o tamanho de amostra obtido será suficiente para a estimação de qualquer que seja . Isso equivale a considerar
Evidentemente, usando-se essa expressão corre-se o risco de se superdimensionar a amostra. Isso ocorrerá se for na realidade próximo de 0 ou 1. Se o custo envolvido for elevado e proporcional ao tamanho de amostra, é mais prudente a tomada de uma amostra-piloto.
Exemplos
shimakur 2016-02-29