1 Distribuições de Probabilidade

O programa R inclui funcionalidade para operações com distribuições de probabilidades. Para cada distribuição há 4 operações básicas indicadas pelas letras:

d

calcula a densidade de probabilidade $f(x)$ no ponto

p

calcula a função de probabilidade acumulada $F(x)$ no ponto

q

calcula o quantil correspondente a uma dada probabilidade

r

amostra da distribuição

1.1 Distribuição Normal

A funcionalidade para distribuição normal é implementada por argumentos que combinam as letras acima com o termo norm. Vamos ver alguns exemplos com a distribuição normal padrão.

> dnorm(-1)
[1] 0.2419707

> (1/sqrt(2*pi)) * exp((-1/2)*(-1)^2)
[1] 0.2419707

> pnorm(-1)
[1] 0.1586553

> qnorm(0.975)
[1] 1.959964

> rnorm(10)
 [1] -0.0442493 -0.3604689  0.2608995 -0.8503701 -0.1255832  0.4337861
 [7] -1.0240673 -1.3205288  2.0273882 -1.7574165

O primeiro valor acima corresponde ao valor da densidade da normal

$$f(x) = \frac{1}{2 \pi \sigma^2}\exp\{\frac{1}{2\sigma^2}(x - \mu)^2\}$$

com parâmetros $(\mu=0, \sigma^2=1)$ no ponto $-1$, como pode ser confirmado com o cálculo apresentado no segundo comando.
A função pnorm(-1) calcula a probabilidade $P(X < -1)$.
O comando qnorm(0.975) calcula o valor de $a$ tal que $P(X < a)=0.975$.
Finalmente o comando rnorm(10) gera uma amostra de 10 elementos da normal padrão.

Nota: cada vez que o comando rnorm é chamado diferentes elementos da amostra são produzidos, porque a semente do gerador é modificada. Para gerar duas amostras idênticas deve-se usar o comando set.seed como ilustrado abaixo.

> set.seed(214)     # define o valor da semente
> rnorm(5)          # amostra de 5 elementos
[1] -0.46774980  0.04088223  1.00335193  2.02522505  0.30640096
> rnorm(5)          # outra amostra de 5 elementos
[1]  0.4257775  0.7488927  0.4464515 -2.2051418  1.9818137
> set.seed(214)     # retorna o valor da semente ao valor inicial
> rnorm(5)          # gera novamente a primeira amostra de 5 elementos
[1] -0.46774980  0.04088223  1.00335193  2.02522505  0.30640096

As funções acima possuem argumentos adicionais, para os quais valores padrão (default) foram assumidos, e que podem ser modificados. Usamos args para ver os argumentos de uma função e help para visualisar a documentação detalhada:

> args(rnorm)
function (n, mean = 0, sd = 1)

As funções relacionadas à distribuição normal tem (entre outros) os argumentos mean e sd para definir média e desvio padrão da distribuição que podem ser modificados como nos exemplos a seguir.

> qnorm(0.975, mean = 100, sd = 8)
[1] 115.6797

> qnorm(0.975, m = 100, s = 8)
[1] 115.6797

> qnorm(0.975, 100, 8)
[1] 115.6797

Para informações mais detalhadas pode-se usar a função help. O comando

> help(rnorm)

irá exibir em uma janela a documentação da função que pode também ser chamada com ?rnorm. Note que ao final da documentação são apresentados exemplos que podem ser rodados pelo usuário e que auxiliam na compreensão da funcionalidade.
Note que as 4 funções relacionadas à distribuição normal são documentadas conjuntamente, portanto help(rnorm), help(qnorm), help(dnorm) e help(pnorm) vão exibir a mesma documentação.

Estas funções aceitam também vetores em seus argumentos como ilustrado nos exemplo abaixo.

> qnorm(c(0.05, 0.95))
[1] -1.644854  1.644854
> rnorm(4, mean=c(0, 10, 100, 1000))
[1]   0.1599628   9.0957340 100.5595095 999.9129392
> rnorm(4, mean=c(10, 20, 30, 40), sd=c(2, 5))
[1] 10.58318 21.92976 29.62843 42.71741

Note que no último exemplo a lei da reciclagem foi utilizada no vetor de desvios padrão, i.e. os desvios padrão utilizados foram $(2, 5, 2, 5)$.

Cálculos de probabilidades usuais, para os quais utilizávamos tabelas estatísticas podem ser facilmente obtidos como no exemplo a seguir.

Seja $X$ uma v.a. com distribuição $N(100, 100)$. Calcular as probabilidades:

1. $P[X < 95]$
2. $P[90 < X < 110]$
3. $P[X > 95]$

Os comandos do R são:

> pnorm(95, 100, 10)
[1] 0.3085375

> pnorm(110, 100, 10) - pnorm(90, 100, 10)
[1] 0.6826895

> 1 - pnorm(95, 100, 10)
[1] 0.6914625
> pnorm(95, 100, 10, lower=F)
[1] 0.6914625

Note a última probabilidade foi calculada de duas formas diferentes, sendo a segunda usando o argumento lower mais estável numericamente.

A seguir vamos ver comandos para fazer gráficos de distribuições de probabilidade. Vamos fazer gráficos de funções de densidade e de probabilidade acumulada. Estude cuidadosamente os comandos abaixo e verifique os gráficos por eles produzidos. A Figura 1 mostra gráficos da densidade (esquerda) e probabilidade acumulada da normal padrão produzidos com os comandos:

> plot(dnorm, -3, 3)
> plot(pnorm, -3, 3)

Figura : Funções de densidade e probabilidade da distribuição normal padrão.

A Figura 2 mostra gráficos da densidade (esquerda) e probabilidade acumulada da $N(100, 64)$ produzidos com os comandos:

> plot(function(x) dnorm(x, 100, 8), 70, 130)
> plot(function(x) pnorm(x, 100, 8), 70, 130)

Figura : Funções de densidade e probabilidade da $N(100, 64)$.

Podemos incluir títulos e mudar texto dos eixos conforme mostrado na gráfico da esquerda da Figura 3 e nos dois primeiros comandos abaixo. Os demais comandos mostram como colocar diferentes densidades em um um mesmo gráfico como ilustrado à direita da mesma Figura.

> plot(dnorm, -3, 3, xlab='valores de X', ylab='densidade de probabilidade')
> title('Distribuicão Normal\nX ~ N(100, 64)')
 
> plot(function(x) dnorm(x, 100, 8), 60, 140, ylab='f(x)')
> plot(function(x) dnorm(x, 90, 8), 60, 140, add=T, col=2)
> plot(function(x) dnorm(x, 100, 15), 60, 140, add=T, col=3)
> legend(120, 0.05, c("N(100,64)","N(90,64)","N(100,225)"), fill=1:3)

Figura : Gráfico com texto nos eixos e título (esquerda) e várias distribuições em um mesmo gráfico (direita).

1.2 Distribuição Binomial

Cálculos para a distribuição binomial são implementados combinando as letras básicas vistas acima com o termo binom. Vamos primeiro investigar argumentos e documentação com os comandos args e binom.

> args(dbinom)
function (x, size, prob, log = FALSE) 

> help(dbinom)

Seja $X$ uma v.a. com distribuição Binomial com $n=10$ e $p=0.35$. Vamos ver os comandos do R para:

1. fazer o gráfico das função de densidade
2. idem para a função de probabilidade
3. calcular $P[X = 7]$
4. calcular $P[X < 8] = P[X \leq 7]$
5. calcular $P[X \geq 8] = P[X > 7]$
6. calcular $P[3 < X \leq 6] = P[4 \geq X < 7]$

Note que sendo uma distribuição discreta de probabilidades os gráficos são diferentes dos obtidos para distribuição normal e os cálculos de probabilidades devem considerar as probabilidades nos pontos. Os gráficos das funções de densidade e probabilidade são mostrados na Figura 4.

> x <- 0:10

> fx <- dbinom(x, 10, 0.35)
> plot(x, fx, type='h')

> Fx <- pbinom(x, 10, 0.35)
> plot(x, Fx, type='S')

> dbinom(7, 10, 0.35)
[1] 0.02120302

> pbinom(7, 10, 0.35)
[1] 0.9951787
> sum(dbinom(0:7, 10, 0.35))
[1] 0.9951787

> 1-pbinom(7, 10, 0.35)
[1] 0.004821265
> pbinom(7, 10, 0.35, lower=F)
[1] 0.004821265

> pbinom(6, 10, 0.35) - pbinom(3, 10, 0.35)
[1] 0.4601487
> sum(dbinom(4:6, 10, 0.35))
[1] 0.4601487

Figura : Funções de densidade e probabilidade da $B(10, 0.35)$.

1.3 Exercícios

Nos exercícios abixo iremos também usar o R como uma calculadora estatística para resolver alguns exemplos/exercícios de probabilidade tipicamente apresentados em um curso de estatística básica.

Os exercícios abaixo com indicação de página foram retirados de:
Magalhães, M.N. & Lima, A.C.P. (2001) Noções de Probabilidade e Estatística. 3 ed. São Paulo, IME-USP. 392p.

1. (Ex 1, pag 67) Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0.4. Para quatro lançamentos independentes dessa moeda, estude o comportamento da variável número de caras e faça um gráfico de sua função de distribuição.

2. (Ex 3.6, pag 65) Num estudo sobre a incidência de câncer foi registrado, para cada paciente com este diagnóstico o número de casos de câncer em parentes próximos (pais, irmãos, tios, filhos e sobrinhos). Os dados de 26 pacientes são os seguintes:

   Paciente	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
   Incidência	2	5	0	2	1	5	3	3	3	2	0	1	1
   Paciente	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
   Incidência	4	5	2	2	3	2	1	5	4	0	0	3	3

   Estudos anteriores assumem que a incidência de câncer em parentes próximos pode ser modelada pela seguinte função discreta de probabilidades:

   Incidência	0	1	2	3	4	5
   $p_i$	0.1	0.1	0.3	0.3	0.1	0.1

   • os dados observados concordam com o modelo teórico?
   • faça um gráfico mostrando as frequências teóricas (esperadas) e observadas.

3. (Ex 5, pag 77) Sendo $X$ uma variável seguindo o modelo Binomial com parâmetro $n = 15$ e $p = 0.4$, pergunta-se:
   • $P(X \geq 14)$
   • $P(8 < X \leq 10)$
   • $P(X < 2 \;{\rm ou }\; X \geq 11)$
   • $P(X \geq 11 \;{\rm ou}\; X > 13))$
   • $P(X > 3 \;{\rm e}\; X < 6)$
   • $P(X \leq 13 \;\vert\; X \geq 11)$

4. (Ex 8, pag 193) Para $X \sim N(90, 100)$, obtenha:
   • $P(X \leq 115)$
   • $P(X \geq 80)$
   • $P(X \leq 75)$
   • $P(85 \leq X \leq 110)$
   • $P(\vert X - 90\vert \leq 10)$
   • P valor de $a$ tal que $P(90-a \leq X \leq 90+a) = \gamma, \; \gamma=0.95$

5. Faça os seguintes gráficos:
   • da função de densidade de uma variável com distribuição de Poisson com parametro $lambda = 5$
   • da densidade de uma variável $X \sim N(90, 100)$
   • sobreponha ao gráfico anterior a densidade de uma variável $Y \sim N(90, 80)$ e outra $Z \sim N(85, 100)$
   • densidades de distribuições $\chi^2$ com 1, 2 e 5 graus de liberdade.