Probabilidade condicional

A probabilidade de um evento A ocorrer, dado que se sabe que um evento B ocorreu, é chamada probabilidade condicional do evento A dado B. Ela é denotada por $P(A\vert B)$ e calculada por:

$$P(A\vert B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

Esta expressão pode ser reescrita como:

$$P(A \cap B)=P(A\vert B)P(B)$$

A probabilidade do evento $\bar{A}$ (complementar de A) dado que o evento B ocorreu, isto é, $P(\bar{A}\vert B)$, é expressa por:

$$P(\bar{A}\vert B)=1-P(A\vert B)$$

Os eventos A e B são independentes se o fato de um deles ter ocorrido não altera a probabilidade da ocorrência do outro, isto é,

$$P(A\vert B)=P(A) \mbox{ou} P(B\vert A)=P(B)$$

Da regra da multiplicação temos:

$$P(A\cap B)=P(A\vert B)P(B)=P(A)P(B)$$

Exemplo 2: Considerando o Exemplo 1

a.

Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso da população ter olhos azuis dado que possui cabelos loiros?

$$P(A\vert L)=\frac{P(A\cap L)}{P(L)}=\frac{1768/6800}{2829/6800}=\frac{1768}{2829}=0,6250$$

Observe que quando condicionamos em $L$, restringimos o espaço amostral ao conjunto das pessoas loiras. Note que $P(A)=0,4134<P(A\vert L)=0,6250$ e que os eventos A e L não são independentes pois $P(A\vert L)\neq P(A)$.

b.

Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso da população não ter cabelos loiros dado que tem olhos castanhos?

$$P(\bar{L}\vert C)=1-P(L\vert C)=1-\frac{115/6800}{857/6800}=1-0,1342=0,8658$$

Exemplo 3: Um casal possui 2 filhos. Qual a probabilidade de ambos serem do sexo masculino?

Os eventos $M=${nascer uma criança do sexo masculino} e $F=${nescer uma criança do sexo feminino} são equiprováveis. Logo, a probabilidade de nascer um filho do sexo masculino é 1/2. A ocorrência do evento $A=${o primeiro filho é do sexo masculino} não influencia a ocorrência do evento $B=${o segundo filho é do sexo masculino}, e então:

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)=1/2 \times 1/2=1/4$$