Teste qui-quadrado ($\chi ^2$)

A Tabela 33 apresenta dados genéricos de uma situação envolvendo a comparação de dois grupos e que a resposta de interesse é dicotômica: a ocorrência ou não de um evento.

Tabela 33: Distribuição quanto à ocorrência de um evento

Grupo	Ocorrência do evento
	Sim	Não	Total
I	$a$	$b$	$a+b=n_1$
II	$c$	$d$	$c+d=n_2$
Total	$m_1=a+c$	$m_2=b+d$	$n_1+n_2=N$

Se não há diferença entre as proporções de ocorrência do evento nos dois grupos, então

$$\frac{a}{n_1}=\frac{c}{n_2}=\frac{a+c}{n_1+n_2}=\frac{m_1}{N}$$

A partir dessas igualdades podemos escrever

$$a=\frac{m_1 \times n_1}{N}, b=\frac{m_2 \times n_1}{N}, c=\frac{m_1 \times n_2}{N}, d=\frac{m_2 \times n_2}{N}$$

Temos, portanto, dois conjunto de valores: os observados $(O_i)$ e os esperados $(E_i)$ calculados sob a hipótese de igualdade das proporções de sucesso entre os grupos.

Se as proporções de sobrevivência são iguais nos dois grupos, a discrepância entre os dois conjuntos de números acima não deve ser grande.

Pearson propôs medir a discrepância entre os valores observados e esperados das quatro entradas de uma tabela $2 \times 2$ através da expressão

$$X^2=\sum_{i=1}^4 \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$$

É possível mostrar que o valor do $X^2$ pode ser calculado de maneira fácil e algebricamente equivalente através de

$$X^2=\frac{N(ad-bc)^2}{m_1 m_2 n_1 n_2}$$