Exemplo: A arte da apreciação de vinho.

Suponha que estejamos interessados em estudar a arte da apreciação de vinho. Como parte de nossos estudos, pedimos para uma pessoa (Pierre), que se diz um connoisseur de vinhos, provar duas taças de vinho e escolher o mais caro.

Esta tarefa é repetida 10 vezes, cada vez com um par diferente de vinhos.

Assuma a princípio que o apreciador não sabe nada sobre vinhos e que ele na verdade escolhe os vinhos ao acaso e que está simplesmente tentando esconder este fato.

Assumindo que não existem fatores externos que interferem na decisão do apreciador (tal como uma tendência a escolher o vinho mais escuro), então em cada ensaio a probabilidade dele acertar na escolha é de 0,5.

Agora suponha que o apreciador tenha acertado 9 dos 10 ensaios.

Pergunta: Qual é a probabilidade de 9 acertos em 10? Qual a sua opinião a respeito da habilidade daquela pessoa em reconhecer um bom vinho?

Seja $X$ o número de acertos em 10 ensaios, então desejamos saber $P(X=9)$.

Um possível resultado que satisfaz o critério $X=9$ seria, nove escolhas corretas seguida de uma incorreta: $C,C,C,C,C,C,C,C,I$. A probabilidade deste resultado (pela regra da multiplicação) é a probabilidade conjunta:

$$P(C,C,C,C,C,C,C,C,I)=(0,5^9)(0,5^1)=p^x(1-p)^{(n-x)}$$

(Lembre-se que estamos assumindo independência entre os ensaios).

Outras combinações levam ao mesmo resultado de respostas 9 corretas em 10 ensaios (por ex, $C,C,C,C,C,C,C,I,C$), cada uma com a mesma probabilidade $(0,5^9)(0,5^1)$. Na verdade, um total de 10 combinações diferentes levarão a 9 escolhas corretas em 10 ensaios, ou seja, $C_x^n=C_9^{10}=10$.

Assim, pela regra da adição, temos que a probabilidade de 9 acertos em 10 ensaios é de:

$$P(X=9)=C_9^{10} (0,5^9)(0,5^1)=10(0,001953)(0,5)=0,0098.$$

Então, a probabilidade de fazer 9 escolhas corretas em 10 ensaios com $p=0,5$ é remota, ocorrendo aproximadamente 1 vez a cada 100 sessões.

Este resultado nos leva ao seguinte questionamento: Será que temos evidência suficiente para rejeitar nossa conjectura inicial de que Pierre não sabe nada sobre vinhos?