Variáveis Quantitativas Contínuas

Quando a variável em estudo é do tipo contínua, que assume muitos valores distintos, o agrupamento dos dados em classes será sempre necessário na construção das tabelas de freqüências. A Tabela 5 apresenta a distribuição de freqüências para o peso dos ursos machos.


Tabela 5: Distribuição de freqüências dos ursos machos segundo peso.
Peso (kg) Freqüência Freqüência Freq. Abs. Freq. Rel.
  Absoluta Relativa (%) Acumulada Acumulada (%)
$ 0 \vert- 25$ 3 4,8 3 4,8
$ 25 \vert- 50$ 11 17,7 14 22,6
$ 50 \vert- 75$ 15 24,2 29 46,8
$ 75 \vert- 100$ 11 17,7 40 64,5
$ 100 \vert- 125$ 3 4,8 43 69,4
$ 125 \vert- 150$ 4 6,5 47 75,8
$ 150 \vert- 175$ 8 12,9 55 88,7
$ 175 \vert- 200$ 5 8,1 60 96,8
$ 200 \vert- 225$ 1 1,6 61 98,4
$ 225 \vert- 250$ 1 1,6 62 100,0
Total 62 100,0 - -
       

Os limites das classes são representados de modo diferente daquele usado nas tabelas para variáveis discretas: o limite superior de uma classe é igual ao limite inferior da classe seguinte. Mas, afinal, onde ele está incluído?

O símbolo $ \vert-$ resolve essa questão. Na segunda classe $ (25 \vert- 50)$, por exemplo, estão incluídos todos os ursos com peso de 25,0 a 49,9 kg. Os ursos que porventura pesarem exatos 50,0 kg serão incluídos na classe seguinte. Ou seja, ursos com pesos maiores ou iguais a 25 kg e menores do que 50 kg.

A construção das classes da tabela de freqüências é feita de modo a facilitar a interpretação da distribuição de freqüências, como discutido anteriormente. Geralmente, usamos tamanhos e limites de classe múltiplos de 5 ou 10. Isso ocorre porque estamos acostumados a pensar no nosso sistema numérico, que é o decimal. Porém, nada nos impede de construirmos classes de outros tamanhos (inteiros ou fracionários) desde que isso facilite nossa visualização e interpretação da distribuição de freqüências da variável em estudo.

A representação gráfica da distribuição de freqüências de uma variável contínua é feita através de um gráfico chamado histograma, mostrado na Figura 12. O histograma nada mais é do que o gráfico de barras verticais, porém construído com as barras unidas, devido ao caráter contínuo dos valores da variável.

Figura 12: Histograma para a distribuição de frequências (absolutas e relativas) de pesos de ursos machos
\begin{figure}\mbox{\centerline{\psfig{figure=figuras/ha1.ps,height=2.1in}
\psfig{figure=figuras/ha2.ps,height=2.1in}}}\\
\end{figure}

Os histogramas da Figura 12 têm a mesma forma, apesar de serem construídos usando as freqüências absolutas e relativas, respectivamente. O objetivo dessas figuras é mostrar que a escolha do tipo de freqüência a ser usada não muda a forma da distribuição. Entretanto, o uso da freqüência relativa torna o histograma comparável a outros histogramas, mesmo que os conjuntos de dados tenham tamanhos diferentes (desde a mesma escala seja usada!)

Analisando o histograma para o peso dos ursos machos, podemos perceber que há dois grupos de ursos: os mais leves, com pesos em torno de 50 a 75 Kg, e os mais pesados, com pesos em torno de 150 a 175 Kg. Essa divisão pode ser devida a uma outra característica dos ursos, como idades ou hábitos alimentares diferentes, por exemplo.

A Tabela 6 apresenta a distribuição de freqüências para o peso dos ursos fêmeas, representada graficamente pelo histograma à esquerda na Figura 13. Apesar de não haver, neste conjunto de dados, fêmeas com peso maior de que 175 Kg, as três últimas classes foram mantidas para que pudessemos comparar machos e fêmeas quanto ao peso.


Tabela 6: Distribuição de freqüências dos ursos fêmeas segundo peso.
Peso (kg) Freqüência Freqüência Freq. Abs. Freq. Rel.
  Absoluta Relativa (%) Acumulada Acumulada (%)
$ 0 \vert- 25$ 3 8,6 3 8,6
$ 25 \vert- 50$ 5 14,3 8 22,9
$ 50 \vert- 75$ 18 51,4 26 74,3
$ 75 \vert- 100$ 5 14,3 31 88,6
$ 100 \vert- 125$ 2 5,7 33 94,3
$ 125 \vert- 150$ 1 2,9 34 97,1
$ 150 \vert- 175$ 1 2,9 35 100,0
$ 175 \vert- 200$ 0 0 35 100,0
$ 200 \vert- 225$ 0 0 35 100,0
$ 225 \vert- 250$ 0 0 35 100,0
Total 35 100,0 - -
       

A Figura 13 também mostra o histograma para o peso dos ursos machos (à direita). Note que ele tem a mesma forma dos histogramas da Figura 12, porém com as barras mais achatadas, devido à mudança de escala no eixo vertical para torná-lo comparável ao histograma das fêmeas.

Comparando as distribuições dos pesos dos ursos machos e fêmeas, podemos concluir que as fêmeas são, em geral, menos pesadas do que os machos, distribuindo-se quase simetricamente em torno da classe de 50 a 75 Kg . O peso das fêmeas é mais homogêneo (valores mais próximos entre si) do que o peso dos ursos machos.

Figura 13: Histograma para a distribuição de frequências de pesos de ursos fêmeas (esquerda) e machos (direita)
\begin{figure}\mbox{\centerline{\psfig{figure=figuras/h1.ps,height=2.1in}
\psfig{figure=figuras/h2.ps,height=2.1in}}}\\
\end{figure}

Muitas vezes, a análise da distribuição de freqüências acumuladas é mais interessante do que a de freqüências simples, representada pelo histograma. O gráfico usado na representação gráfica da distribuição de freqüências acumuladas de uma variável contínua é a ogiva, apresentada na Figura 14. Para a construção da ogiva, são usadas as freqüências acumuladas (absolutas ou relativas) no eixo vertical e os limites superiores de classe no eixo horizontal.

Figura 14: Ogivas para a distribuição de frequências de pesos de ursos machos e fêmeas
\begin{figure}\centerline{\psfig{figure=figuras/ogiva.ps,height=2in}}
\end{figure}

O primeiro ponto da ogiva é formado pelo limite inferior da primeira classe e o valor zero, indicando que abaixo do limite inferior da primeira classe não existem observações. Daí por diante, são usados os limites superiores das classes e suas respectivas freqüências acumuladas, até a última classe, que acumula todas as observações. Assim, uma ogiva deve começar no valor zero e, se for construída com as freqüências relativas acumuladas, terminar com o valor 100 A ogiva permite que sejam respondidas perguntas do tipo:

a) Qual o percentual de ursos têm peso de até 125 Kg?

Na Figura 15(a), traçamos uma linha vertical partindo do ponto 120 kg até cruzar com cada ogiva (fêmeas e machos). A partir deste ponto de cruzamento, traçamos uma linha horizontal até o eixo das freqüências acumuladas, encontrando o valor de 70% para os machos e 95% para as fêmeas.

Assim, 95% das fêmeas têm até 125 kg, enquanto 70% dos machos têm até 125 kg. É o mesmo que dizer que apenas 5% das fêmeas pesam mais que 125 kg, enquanto 30% dos machos pesam mais que 125 kg.

b) Qual o valor do peso que deixa abaixo (e acima) dele 50% dos ursos?

Na Figura 15(b), traçamos uma linha horizontal partindo da freqüência acumulada de 50% até encontrar as duas ogivas. A partir destes pontos de encontro, traçamos uma linha vertical até o eixo do valores de peso, encontrando o valor de 80 kg para os machos e 65 kg para as fêmeas.

Figura 15: Ogivas para a distribuição de frequências de pesos de ursos machos e fêmeas
\begin{figure}\mbox{\centerline{\psfig{figure=figuras/ogiva1.ps,height=2in}
\psfig{figure=figuras/ogiva2.ps,height=2in}}}\\
\end{figure}

Assim, metade dos machos pesam até 80 kg (e metade pesam mais que 80 kg), enquanto metade das fêmeas pesam até 65 kg.

silvia 2012-09-20