Resposta contínua: amostras pareadas

Consideremos a seguinte pergunta: será que um tratamento baseado em uma dieta combinada com um programa de exercícios físicos é eficaz na redução no nível médio de colesterol total?

Neste caso, o problema de interesse é uma comparação entre dois grupos de medidas de taxas de colesterol total.

Assumindo que a distribuição do nível de colesterol é gaussiana, e que o possível efeito do tratamento se dá apenas no aumento ou decréscimo na média da distribuição, não na sua variabilidade, então as hipóteses a serem testadas são

$$H_0: \mu_A=\mu_D$$    versus $$H_1: \mu_A \neq \mu_D$$

em que $\mu_A$ e $\mu_D$ são as médias antes e depois do tratamento.

• O erro do tipo I, é dizer que o tratamento tem efeito quando na realidade não tem.
• O erro do tipo II, é dizer que não há efeito quando na realidade tem.
• O critério de decisão utilizado para testar $H_0$ deve ser baseado na diferenças entre os valores do colesterol nas duas ocasiões. Se houver efeito do tratamento, então essas diferenças devem ser diferentes de zero.
• O problema da escolha de um critério de decisão reduz-se a escolher uma forma de verificar se as diferenças são provenientes de uma distribuição com média zero.

De uma maneira geral, considerando o par formado pelas medidas do indivíduo antes e depois do tratamento:

• os dados são $n$ pares de observações;
• para cada par tomamos a diferença das duas observações ($d$);
• a partir dessas diferenças calculamos a média das diferenças
  $$\bar{d}=\frac{\sum_{i=1}^n d_i}{n}$$

• e o desvio-padrão amostral das diferenças
  $$s_d=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (d_i-\bar{d})^2}{n-1}}$$

• Um critério é a distância entre a média das diferenças $\bar{d}$ e zero.
  $$T_p=\frac{\bar{D}-0}{DP(\bar{D})}$$
  em que $DP(\bar{D})$ é desvio-padrão de $\bar{D}$ com
  $$DP(\bar{D})=\frac{\sigma_d}{\sqrt{n}}$$
  e $\sigma_d$ é o desvio-padrão populacional das diferenças que é estimado por $s_d$, o desvio-padrão das diferenças na amostra.
• Portanto, o teste consiste em rejeitar $H_0$ se
  $$T_p=\frac{\bar{d}}{s_d/\sqrt{n}}$$
  for "grande", ou seja, se a distância entre a médias das diferenças e zero, medida em desvios-padrão tem um valor "grande".

  A decisão de quão "grande" o valor de $T_p$ deve ser exige o conhecimento de sua distribuição. Quando a distribuição de $D$ é gaussiana, $T_p \sim t_{n-1}$.

• A regra do teste é então rejeitar $H_0$ se
  $$\vert T_p\vert \geq t_{n-1,1-\alpha/2}$$
  em que $t_{n-1,1-\alpha/2}$ é o percentil de ordem $(1-\alpha/2)$ da distribuição $t$ de Student com $n-1$ graus de liberdade.

Note que:

• Quanto maior o valor $\bar{d}$ maior a evidência de que o tratamento reduz o nível de colesterol;
• Quanto menor a variabilidade das diferenças individuais maior a chance de se detectar um efeito médio significativo.