Teste t

O teste t para duas amostras é adequado para situações em que as respostas aos dois tratamentos são variáveis quantitativas com distribuição gaussiana com parâmetros $(\mu_1, \sigma)$ e $(\mu_2, \sigma)$.

Suposição do teste: as variáves estudadas têm distribuições gaussianas com o mesmo desvio-padrão.

Note que $\mu_1$, $\mu_2$ e $\sigma$ são parâmetros populacionais e, portanto constantes desconhecidas.

Para testar a hipótese acima,

1. coletamos uma amostra de tamanho $n_1$ no grupo 1 e uma amostra de tamanho $n_2$ no grupo 2.
2. A partir desses dados, calculamos as médias ($\bar{x}_1$ e $\bar{x}_2$) e os desvio-padrão ($s_1$ e $s_2$) dos dois grupos.
3. O critério de decisão para se testar a hipótese nula acima consiste em rejeitar $H_0$ se
   $$T=\frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{DP(\bar{X}_1-\bar{X}_2)}$$
   é "grande", em que $DP(\bar{X}_1-\bar{X}_2)$ é o desvio-padrão da diferença entre $\bar{X}_1$ e $\bar{X}_2$.

A decisão baseada nesta estatística de teste é intuitiva, pois

• quanto maior for a diferença entre as médias amostrais, maior a chance de estarmos diante de dois grupos realmente diferentes (captado pelo numerador de $T$).

• Por outro lado, quanto maior for a variabilidade das respostas, maior será a dificuldade de se detectar diferenças entre os efeitos médios (captado pelo denominador de $T$).

Em outras palavras, com a estatística $T$ estamos medindo a diferença entre as médias em termos de desvios-padrão (lembra da interpretação do escore padronizado? É semelhante...).

Devemos rejeitar $H_0$ se $T$ for "grande" em valor absoluto.

Para tomarmos esta decisão, usamos a distribuição t de Student (Student, 1908):

• Essa distribuição é caracterizada por um parâmetro que assume apenas valores inteiros positivos que são chamados graus de liberdade.
• É muito parecida com a distribuição gaussiana e sua forma típica é mostrada na Figura 44.

  Figura 44: Distribuição t de Student

  
• Os percentis da distribuição t de Student para vários graus de liberdade são disponíveis em tabelas.
• Para graus de liberdade muito grandes, seus percentis são praticamente iguais aos da distribuição gaussiana.
• Na comparação de médias de amostras independentes, os graus de liberdade são $n_1+n_2-2$, o número total da amostra menos 2.

Para efetuarmos os cálculos necessários ao teste, precisamos conhecer a expressão para o desvio-padrão de $\bar{X}_1-\bar{X}_2$.

$$DP(\bar{X}_1-\bar{X}_2)=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n_1}+\frac{\sigma^2}{n_2}}=\sigma \times \sqrt{\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}$$

Precisamos encontrar uma estimativa de $\sigma$ para obter uma estimativa do desvio-padrão de $(\bar{X}_1-\bar{X}_2)$.

Como a suposição é que as variâncias dos dois grupos são iguais, podemos estimar $\sigma$ como uma média ponderada, com pesos proporcionais aos tamanhos dos grupos,

$$s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}$$

O teste t para comparação de duas amostras consiste em se rejeitar $H_0$ em favor de $H_1$ ao nível de $\alpha$ de significância, se

$$\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\vert>t_{n_1+n_2-2;1-\frac{\alpha}{2}}$$

em que $t_{n_1+n_2-2;1-\frac{\alpha}{2}}$ é o percentil de ordem $1-\alpha/2$ da distribuição t com $n_1+n_2-2$ graus de liberdade.

Alternativamente, pode-se obter o valor-p da estatística de teste resultante dos dados e tomar a decisão com base neste p-valor.