Modelo de regressão linear simples

Este é o modelo mais simples para descrever a relação entre uma variável explanatória $x$ e uma variável resposta $y$. O modelo faz a seguintes suposições, em ordem decrescente de importância:

1. o valor médio da variável resposta é uma funçãi linear de $x$,
2. a variância da variável resposta é constante (ou seja, a mesma para todos os valores de $x$),
3. a variação aleatória da variável resposta para qualquer valor fixo de $x$ segue uma distribuição Normal, e estes termos de erro são independentes.

Em termos algébricos, seja $(x_i,y_i)$ para $i = 1, \dots, n$ os valores observados da variável explanatória $x$ e da variável resposta $y$ para os $n$ sujeitos.

O modelo de regressão linear é

$$y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$$

onde $\varepsilon_i$ representa desvios independentes aleatórios da relação linear entre $y$ e $x$ e (para satisfazer nossas três suposições acima)

$$\varepsilon_i \sim \mbox{Normal}(0,\sigma^2).$$

Note que $\alpha$ e $\beta$ são parâmetros da população, e eles são frequentemente conhecidos como coeficientes. Em particular, $\beta$ é denominado coeficiente, ou efeito, de $x$.

Os dados abaixo parecem satisfazer todas as três suposições:

Um exemplo construído de dados que não satisfazem nenhuma das suposições é mostrado abaixo: