Intervalo de confiança para a diferença em proporções

Seja $p_1$ a verdadeira proporção populacional no grupo 1 (lago 1), se seja $p_2$ a proporção no grupo 2 (lago 2). Estamos interessados na diferença em proporções,

$$p_2-p_1.$$

Estimativas de $p_1$ e $p_2$ são dadas por

$$\hat{p}_1 = 0.744 \quad, \quad \hat{p}_2 = 0.600,$$

então uma estimativa da diferença em proporções é

$$\hat{p}_2 -\hat{p}_1 = 0.744 - 0.600 = 0.144$$

O erro padrão desta diferença é

$$\mbox{SE} = \sqrt{ \frac{\hat{p}_1(1 - \hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1 - \hat{p}_2)}{n_2}}.$$

Com isso podemos construir um intervalo de confiança da forma ususal, ou seja

$$(\hat{p}_2 - \hat{p}_1) \pm 1.96 \times\mbox{SE}.$$

Então para os nossos dados temos

$$\mbox{SE} = \sqrt{ \frac{0.744 \times (1 - 0.744)}{43} + \frac{ 0.600 \times (1 - 0.600)}{50}} = 0.096.$$

Portanto um intervalo de confiança aproximado de 95% para a diferença em proporções é dado por $0.144 \pm 1.96 \times 0.096$, o qual é $(-0.044,0.332)$, ou (-4.4%,33.2%). Estamos 95% confiantes que a verdadeira diferença percentual entre as proporções de peixes machos nos dois lagos está entre -4.4% e 33.2%.

Note que de acordo com este intervalo o valor zero é um valor plausível para as diferenças nos percentuais, e portanto não existem evidências estatísticas de que o percentual de peixes do sexo masculino diferem nos dois lagos.