Os pássaros migratórios engordam antes de migrar?

Considere os dados coletados pelo ornitologista na página 15. Achamos apropriado apresentar os dados na forma de um ladder plot. Agora é natural perguntar se em média estes pássaros engordam entre Agosto e Setembro. Somente 10 pássaros foram capturados e seu peso médio nas duas ocasiões foram 11.47 e 12.35 então o peso médio aumentou para esta amostra em particular. (Note que o mesmo conjunto de pássaros foram medidos ambas as vezes.) Podemos generalizar para o resto dos pássaros que não foram capturados? Será que esta diferença poderia ser devida simplesmente ao acaso?

Queremos testar a hipótese nula (H$_0$) de que, em média, não existe mudança no peso dos pássaros. Assumiremos que os 10 pássaros foram uma amostra aleatória de todos os pássaros migradores daquela espécie e usaremos primeiramente o que aprendemos sobre intervalos de confiança para responder nossas perguntas.

Primeiro vamos calcular as mudanças de peso (Setembro-Agosto):

$$1.9    0.7    2.2   -0.1    2.0    1.0   -0.8   -0.2     1.8    0.3$$

Seja $\mu$ a mudança média de peso na população. Então nossa hipótese nula H$_0$ e a hipótese alternativa H$_1$ podem ser escritas como segue:

$${\rm H}_0:  \mu = 0, \quad \quad {\rm H}_1:  \mu \neq 0.$$

Um procedimento útil é calcular um intervalo de confiança para a média populacional $\mu$ como descrito na Seção 5.5, e ver ser o intervalo inclui 0 como um valor plausível.

Agora $n=10$, $\bar{x}=0.88$ e $s=1.065$ para as diferenças, então

$${\rm SE} = s/\sqrt{n} = 1.065/\sqrt{10} = 0.337,$$

e um valor-$t$ de 2.262 é obtido da coluna $P=0.05$ e linha $r=n-1=9$. Um intervalo de confiança de 95% para $\mu$ é portanto

$$(0.88 - 2.262 \times 0.337,  0.88 + 2.262 \times 0.337)  =  (0.12, 1.64).$$

O intervalo não contem o valor 0, fornecendo evidências contra a hipótese nula.

Podemos dizer: ``existem evidências significativas ($P<0.05$) de que, em média, os pássaros da espécie estudada mudam de peso de Agosto para Setembro. Estamos 95% confiantes de que em média os pesos aumentam por um montante entre 0.12 e 1.64 gramas.''

Mas e o intervalo de 99%? Será que ele conteria o valor 0? Este intervalo seria mais amplo e então é mais provável que ele contenha 0. Se ele não incluir 0, isto indicaria uma evidência ainda mais forte contra $H_0$.

Calculando o intervalo de confiança exatamente da mesma forma, exceto que desta vez precisamos olhar na coluna $P=0.01$ para obter $t=3.250$:

$$(0.88 - 3.250 \times 0.337,  0.88 + 3.250 \times 0.337)  =  (-0.21, 1.97).$$

Como esperado, este é mais amplo, e agora inclui o valor 0.

Podemos agora dizer: ``não existem evidências significativas ao nível de 1% de que, em média, os pássaros da espécie estudada mudam de peso de Agosto para Setembro.''

O que nós acabamos de fazer foi conduzir um teste perfeitamente válido para a hipótese nula usando intervalos de confiança. Podemos fazer o teste mais rapidamente e obter exatamente as mesmas conclusões pelo seguinte procedimento:

• Estabeleça a hipótese nula, no presente exemplo, $H_0:\mu=0$.
• Calcule $t=(\bar{x}-0)/SE = 0.88/0.337 = 2.61$, o número de erros padrão que $\bar{x}$ dista de 0.
• Compare este valor de $t$ com aqueles na linha $r=n-1=9$ da tabela.
• Para este exemplo, $t=2.61$ o qual está entre os valores nas colunas $P=0.01$ e $P=0.05$. Então nosso valor deve corresponder a um $P$ entre estes e portanto devemos ter $0.01<P<0.05$. ($P$ é a probabilidade de observar um valor de $t$ tão grande ou mais extremo do que 2.61 se $\mu=0$.)