Intervalos de confiança para uma proporção

Pesquisadores frequentemente expressam a frequência de ocorrência de um item numa amostra como uma proporção do total. Por exemplo, uma amostra de larvas de mosquito coletadas de um lago com água limpa parada contem 80 larvas das quais 60 são Aedes detritus. A proporção daquela espécie na amostra é $60/80=0.75$ ou 75%. Considerando esta amostra uma amostra aleatória, esta proporção é uma estimativa da proporção total populacional. Outras amostras forneceriam estimativas ligeiramente diferentes daquela proporção.

Seja $n$ o tamanho da amostra e seja $x$ o número observado do evento de interesse. Então estimamos a proporção populacional $p$ com a proporção observada $\hat{p}=x/n$.

Da mesma forma que um conjunto de médias amostrais são distribuídas nas proximidades da média populacional, as proporções amostrais $\hat{p}$ são distribuídas ao redor da verdadeira proporção populacional $p$. Devido ao Teorema Central do Limite, para $n$ grande e $p$ não muito próximo de 0 ou 1, a distribuição de $\hat{p}$ será aproximadamente normalmente distribuída com média $p$ e um desvio padrão dado por

$$\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.$$

Chamamos SE $=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ de erro padrão da proporção amostral. Podemos usar isto na construção de um intervalo de confiança para a verdadeira proporção $p$.

Um intervalo de confiança de aproximadamente 95% para $p$ é portanto

$$(\hat{p} - 1.96 \times \mbox{SE}   ,   \hat{p} + 1.96 \times \mbox{SE})$$

onde

$${\rm SE} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.$$

Note que não sabemos o verdadeiro valor de $p$, e portanto usamos $\hat{p}$ na fórmula acima para estimar SE.

Uma regra geral é que este intervalo de confiança é válido quando quando temos ambos $n \hat{p}$ e $n (1-\hat{p})$ maiores do que digamos 10.

Em alguns livros o divisor $n-1$ é utlizado. Não se preocupe quanto a isso; o intervalo resultante não será notavelmente diferente.