Intervalos de confiança mais exatos

Para amostras pequenas, onde $s$ é uma estimativa menos confiável de $\sigma$, devemos construir nosso intervalo de confiança de uma forma ligeiramente diferente.

Ao invés de usar o valor 1.96, usamos um valor ligeiramente maior para refletir nossa redução na confiança. Obtemos o valor requerido da tabela de distribuição $t$. Tomamos o valor correspondente à linha $r=n-1$ graus de liberdade. Note que quanto menor $n$, maiores os valores de $t$.

Então um intervalo de confiança exato é

$$(\bar{x}- t_{(n-1,0.05)} \times \frac{s}{\sqrt{n}}   ,   \bar{x}+t_{(n-1,0.05)} \times \frac{s}{\sqrt{n}}).$$

Note ainda que à medida que $n$ cresce, o valor de $t$ torna-se próximo a 1.96.

Repare que se a distribuição da variável original é muito distante de uma normalmente distribuída, e o tamanho amostral é excessivamente pequeno, então as médias amostrais não terão uma distribuição aproximadamente normal e portanto este tipo de intervalo de confiança não deveria ser utilizado.

A distribuição $t$

Valores de $t$ para que $P(\mid T \mid > t)=p$, onde $T$ tem um distribuição $T$ de Student com $r$ graus de liberdade.

		$p$
		0.20	0.10	0.05	0.01	0.001
	1	3.078	6.314	12.706	63.657	636.619
	2	1.886	2.920	4.303	9.925	31.599
	3	1.638	2.353	3.182	5.841	12.924
	4	1.533	2.132	2.776	4.604	8.610
	5	1.476	2.015	2.571	4.032	6.869
	6	1.440	1.943	2.447	3.707	5.959
	7	1.415	1.895	2.365	3.499	5.408
	8	1.397	1.860	2.306	3.355	5.041
	9	1.383	1.833	2.262	3.250	4.781
	10	1.372	1.812	2.228	3.169	4.587
	11	1.363	1.796	2.201	3.106	4.437
	12	1.356	1.782	2.179	3.055	4.318
	13	1.350	1.771	2.160	3.012	4.221
	14	1.345	1.761	2.145	2.977	4.140
	15	1.341	1.753	2.131	2.947	4.073
	16	1.337	1.746	2.120	2.921	4.015
$r$	17	1.333	1.740	2.110	2.898	3.965
	18	1.330	1.734	2.101	2.878	3.922
	19	1.328	1.729	2.093	2.861	3.883
	20	1.325	1.725	2.086	2.845	3.850
	21	1.323	1.721	2.080	2.831	3.819
	22	1.321	1.717	2.074	2.819	3.792
	23	1.319	1.714	2.069	2.807	3.768
	24	1.318	1.711	2.064	2.797	3.745
	25	1.316	1.708	2.060	2.787	3.725
	26	1.315	1.706	2.056	2.779	3.707
	27	1.314	1.703	2.052	2.771	3.690
	28	1.313	1.701	2.048	2.763	3.674
	29	1.311	1.699	2.045	2.756	3.659
	30	1.310	1.697	2.042	2.750	3.646
	40	1.303	1.684	2.021	2.704	3.551
	50	1.299	1.676	2.009	2.678	3.496
	60	1.296	1.671	2.000	2.660	3.460
	70	1.294	1.667	1.994	2.648	3.435
	80	1.292	1.664	1.990	2.639	3.416
	90	1.291	1.662	1.987	2.632	3.402
	100	1.290	1.660	1.984	2.626	3.390
	$\infty$	1.282	1.645	1.960	2.576	3.291

Exemplos

Identificação de bactérias em hemoculturas

Um método padrão para identificação de bactérias em hemoculturas vem sendo utilizado há muito tempo, e seu tempo médio de execução (desde a etapa de preparo das amostras até a identificação do gênero e espécie) é de 40,5 horas. Um microbiologista propôs uma nova técnica afirmando que o tempo de execução deste novo processo é menor que o do método padrão.

Os dados abaixo (em horas) são resultantes da aplicação desta nova técnica.

41 38 38 42 39 40 40 38 36 35 43 40 40 41 40,5 40 39 39

n=18, $\bar{x}$=39,42 horas e $s$=1,96 horas

Vamos construir o intervalo de confiança de 95% para o verdadeiro tempo médio de execução deste novo processo.

O erro padrão é portanto:

$${\rm SE} =\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1,96}{\sqrt{18}}=0,462.$$

Temos uma amostra de tamanho $n=18$, então da tabela da distribuição $t$ com 18-1=17 gl e $p$=0,05, temos que $t=2,110$.

Então o intervalo de confiança de 95% para a média populacional é

$$\bar{x} \pm t \times {\rm SE}=39,42 \pm 2,110 \times 0,462=(38,44;40,39)$$

Portanto estamos 95% confiantes de que o tempo médio de execução do novo processo está entre 38,44 e 40,39 horas e concluímos que existem evidências amostrais de que o novo método para identificação de bactérias tem tempo médio de execução menor que o método padrão.

Exercícios:

1. Os pulsos em repouso de 920 pessoas sadias foram tomados, e uma média de 72.9 batidas por minuto (bpm) e um desvio padrão de 11.0 bpm foram obtidos. Construa um intervalo de confiança de 95% para a pulsação média em repouso de pessoas sadias com base nesses dados.

2. Os QIs de 20 meninos com idades entre 6-7 anos de Curitiba foram medidos. O QI médio foi 108.08, e o desvio padrão foi 14.38.
   • Calcule um intervalo de confiança de 95% para o QI médio populacional dos meninos entre 6-7 anos de idade em Curitiba usando estes dados.
   • Interprete o intervalo de confiança com palavras.
   • Foi necessário assumir que os QIs têm distribuição normal neste caso? Por quê?