Média, variância e desvio padrão

Para resumir dados quantitativos aproximadamente simétricos, é usual calcular a média aritmética como uma medida de locação. Se $x_1, x_2, \ldots, x_n$ são os valores dos dados, então podemos escrever a média como

$$\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n},$$

onde ` $\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_2 + \dots + x_n$' e frequentemente é simplificada para $\sum x_i$ ou até mesmo $\sum x$ que significa `adicione todos os valores de $x$'.

A variância é definida como o `desvio quadrático médio da média' e é calculada de uma amostra de dados como

$$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}{n-1} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i^2) - n \overline{x}^2}{(n-1)}.$$

A segunda versão é mais fácil de ser calculada, no entanto muitas calculadoras têm funções prontas para o cálculo de variâncias, e é raro ter que realisar todos os passos manualmente.

Comumente as calculadoras fornecerão a raiz quadrada da variância, o desvio padrão, i.e.

$$s = \sqrt{\mbox{variância}} =\sqrt{s^2}$$

a qual é medida nas mesmas unidades dos dados originais.

Uma informação útil é que para qualquer conjunto de dados, pelo menos 75% deles fica dentro de uma distância de 2 desvios padrão da média, i.e. entre $\bar{x}-2s$ e $\bar{x}+2s$.

Exemplo. Sete homens foram pesados, e os resultados em kg foram:

57.0, 62.9, 63.5, 64.1, 66.1, 67.1, 73.6.

A média é $454.3/7 = 64.9\;\mbox{kg}$,

a variância é $(29635.05 - 454.3^2/7) / 6 = 25.16\;\mbox{kg}^2$

e o desvio padrão é $\surd 25.16 = 5.02\;\mbox{kg}$.