CE-315: Teorema de Bayes
Exemplos com formatação para solução
PJ
Exemplo 1: Teste diagnóstico de uma doença rara
Considere o problema do teste diagnóstico de uma doença rara, que afeta 2% da população. Um teste diagnóstico para a doença tem sensibilidade de 90% e especificidade de 80%. Ou seja, se uma pessoa tem a doença, o teste dá positivo com probabilidade 90%, e se a pessoa não tem a doença, o teste dá negativo com probabilidade 80%. O objetivo é determinar a probabilidade de uma pessoa ter ou não a doença dado que o teste deu positivo.
Definindo notação:
- \(D\) : evento “a pessoa tem a doença”
- \(T\) : evento “o teste deu positivo”
- \(P(D) = 0.02\) : prevalência da doença na população
- \(P(T|D) = 0.9\) : sensibilidade do teste
- \(P(T|D^c) = 0.2\) : taxa de falso positivo (1 - especificidade)
Redefinindo notação:
- parâmetro \(\theta \in \{0, 1\}\) \[ \theta = \begin{cases} 0 & \text{se não tem a doença}\\ 1 & \text{se tem a doença} \end{cases} \]
- variável observada \(Y \in \{0, 1\}\) \[ Y = \begin{cases} 0 & \text{se o teste é negativo}\\ 1 & \text{se o teste é positivo} \end{cases} \]
- \(P(\theta = 0) = 0.98\) e \(P(\theta = 1) = 0.02\)
- \(P(Y = 0 | \theta = 0) = 0.8\) e \(P(Y = 1 | \theta = 1) = 0.9\)
- \(P(Y = 0 | \theta = 1) = 0.1\) e \(P(Y = 1 | \theta = 0) = 0.2\)
Priori: \(P(\theta)\)
Para teste POSITIVO:
Verossimilhança: \(P(Y = 1 | \theta)\)
ex01.1 <- tibble::tibble(
theta = c(0,1),
priori = c(0.98, 0.02),
vero = c(0.20, 0.90),
produto = priori * vero,
posteriori = produto/sum(produto)
)
knitr::kable(ex01.1)| theta | priori | vero | produto | posteriori |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.98 | 0.2 | 0.196 | 0.9158879 |
| 1 | 0.02 | 0.9 | 0.018 | 0.0841121 |
Para teste NEGATIVO:
Verossimilhança: \(P(Y = 0 | \theta)\)
ex01.2 <- tibble::tibble(
theta = c(0,1),
priori = c(0.98, 0.02),
vero = c(0.80, 0.10),
produto = priori * vero,
posteriori = produto / sum(produto)
)
knitr::kable(ex01.1)| theta | priori | vero | produto | posteriori |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.98 | 0.2 | 0.196 | 0.9158879 |
| 1 | 0.02 | 0.9 | 0.018 | 0.0841121 |
Agora suponha que a pessoa fez o teste duas vezes, e ambos os testes deram positivo. Qual as probabilidade de a pessoa ter ou não a doença dado que ambos os testes deram positivo?
- Priori: \(P(\theta)\)
- Verossimilhança: \(P(Y_1 = 1, Y_2 = 1 | \theta)\)
- Assumindo que os testes são independentes, temos \[P(Y_1 = 1, Y_2 = 1 | \theta) = P(Y_1 = 1 | \theta) \cdot P(Y_2 = 1 | \theta)\]
ex01.3 <- tibble::tibble(
theta = c(0,1),
priori = c(0.98, 0.02),
vero1 = c(0.20, 0.90),
vero2 = c(0.20, 0.90),
produto = priori * vero1 * vero2,
posteriori = produto / sum(produto)
)
knitr::kable(ex01.3)| theta | priori | vero1 | vero2 | produto | posteriori |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.98 | 0.2 | 0.2 | 0.0392 | 0.7075812 |
| 1 | 0.02 | 0.9 | 0.9 | 0.0162 | 0.2924188 |
Agora suponha que a pessoa fez o teste três vezes, e os resultados foram: positivo,negativo e positivo. Qual as probabilidade de a pessoa ter ou não a doença dado que os testes deram esses resultados?
- Priori: \(P(\theta)\)
- Verossimilhança: \(P(Y_1 = 1, Y_2 = 0, Y_3 = 1 | \theta)\)
- Assumindo independência, temos \[P(Y_1 = 1, Y_2 = 0, Y_3 = 1 | \theta) = P(Y_1 = 1 | \theta) \cdot P(Y_2 = 0 | \theta) \cdot P(Y_3 = 1 | \theta)\]
ex01.4 <- tibble::tibble(
theta = c(0,1),
priori = c(0.98, 0.02),
vero1 = c(0.20, 0.90),
vero2 = c(0.80, 0.10),
vero3 = c(0.20, 0.90),
produto = priori * vero1 * vero2 * vero3,
posteriori = produto / sum(produto)
)
knitr::kable(ex01.4)| theta | priori | vero1 | vero2 | vero3 | produto | posteriori |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.98 | 0.2 | 0.8 | 0.2 | 0.03136 | 0.9508793 |
| 1 | 0.02 | 0.9 | 0.1 | 0.9 | 0.00162 | 0.0491207 |
Exemplo 2: Teste de avaliação de conhecimento
Estima-se que um estudante tem uma chance de 40% de dominar um determinado assunto. O estudante faz uma questão de múltipla escolha (com cinco alternativas) para avaliar seu conhecimento. O estudante tem 85% de chance de acertar a questão se domina o assunto.
- Avalie a probabilidade de o estudante dominar o assunto, dado que ele acertou a questão.
- Avalie a probabilidade de o estudante dominar o assunto, dado que ele acertou a questão.
- Suponha que o estudante faz uma segunda questão com probabilidade de acerto de 70% se domina o assunto. Se o estudante acerta ambas, qual a probabilidade de ele dominar ou não o assunto?
Exemplo 3: Monty Hall
Notação:
- \(\theta \in \{1, 2, 3\}\) : porta onde está o prêmio
- \(Y \in \{1, 2, 3\}\) : porta revelada
Vamos chamar de Porta 1 a escolhida pelo jogador, de Porta 2 a revelada e Porta 3 a restante. A revelada é escolhida com probabilidade \(p\) se houver opção. Vamos considerar que \(p = 1/2\).
p <- 0.5
ex03.1 <- tibble::tibble(
theta = c(1,2,3),
priori = c(1/3, 1/3, 1/3), ## P(θ)
vero = c(p, 0, 1), ## P(Y=2|θ)
produto = priori * vero,
posteriori = produto / sum(produto) ## P(θ|Y=2)
)
knitr::kable(ex03.1)| theta | priori | vero | produto | posteriori |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.3333333 | 0.5 | 0.1666667 | 0.3333333 |
| 2 | 0.3333333 | 0.0 | 0.0000000 | 0.0000000 |
| 3 | 0.3333333 | 1.0 | 0.3333333 | 0.6666667 |
Exemplo 4: Urna com bola branca e pretas adicionadas
Seja uma urna com uma bola branca. Bola(s) pretas são adicionadas à urna em quantidade definida pelo resultado do lançamento de um dado com resultado não revelado. Retira-se uma bola da urna e observa-se que ela é preta.
- Qual a distribuição de probabilidades da face do dado? (use priori uniforme)
- Repita anterior para outra opção de priori com faces de 1 a 6 proporcionais a 3,3,2,2,1,1, respectivamente.
- Suponha que uma segunda bola é retirada e também é preta. Qual a distribuição de probabilidades da face do dado? (sem reposição da primeira bola, com priori inicial uniforme)
- idem anterior com priori não uniforme.
- Estude outras situações:
- a bola branca é retirada,
- há mais de uma bola branca na urna,
- outros “números de faces” do dado.
Exemplo 5: Proporção de canhotos
- Suponha que a proporção de canhotos na população é desconhecida e queremos estimá-la considerando apenas três possíveis valores: 0.05, 0.10 e 0.15 com probabilidades 0.60, 0.30 e 0.10, respectivamente.
- Se em um grupo de 27 pessoas, 5 são canhotos, qual a distribuição a posteriori da proporção de canhotos na população?
- Suponha que se verifica também um segundo grupo de 40 pessoas, 6 são canhotos. Qual a nova distribuição a posteriori da proporção de canhotos na população?
- Verifique que considerando um só grupo de 27+40=67 pessoas com 5+6 = 11 canhotos, a distribuição a posteriori é a mesma.
- Considere agora, no contexto da questão anterior, valores de \(\theta\) entre 1 e 30% (valores percentuais inteiros) e priori proporcional a 5, 3 e 1 para \(\theta \in \{1, 2, \ldots 10\}\), \(\theta \in \{11, 12, \ldots 20\}\) e \(\theta \in \{21, 22, \ldots 30\}\), respectivamente.
Exemplo 6: Dados com distribuição Poisson
Suponha que o número de ocorrências de um determinado evento em um intervalo de tempo segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \(\theta\). Considera-se dez possíveis valores para \(\theta\): \(1, 2, 3, \ldots 10.\)
- Supondo com probabilidades iguais para o valor do parâmetro \(\theta\):
- se em um intervalo de tempo foram observadas 8 ocorrências, qual a distribuição posteriori de \(\theta\)?
- se em um segundo intervalo de tempo foram observadas 6 ocorrências, qual a nova distribuição posteriori de \(\theta\) considerando a priori inicial?
- Verifique que considerando um só intervalo de tempo com 8+6=14 ocorrências, a distribuição posteriori é a mesma.
- Repita itens anteriores considerando agora probabilidades para \(\theta\) proporcionais a \(0.25 \exp\{-0.25 \theta\}\).
- Proponha outra priori para \(\theta\) e repita os itens anteriores.
- Considere agora que \(\theta\) pode assumir qualquer valor positivo. Considere como priori valores em uma sequência \(\{0.5, 1.0, 1.5, 2.0, \ldots 20\}\) proporcionais aos de uma distribuição gama com parâmetros \(a=3\) e \(b=1\). Repita os itens anteriores.
