CE-312: Estatística Computacional

Prova 01

Questão 1

Forneça os elementos dos vetores criados com os comandos a seguir

vec.a <- 23:29
vec.b <- (0:10)/10
vec.c <- 12:5
vec.d <- seq(2.5, 8, by = 0.5)
vec.e <- seq(0, 10, length = 6)
vec.f <- seq(3.2, 8.6, by = 0.8)
vec.g <- rep(2:4, times = 4:2)
vec.h <- rep(2:4, 3)
vec.i <- rep(2:4, each = 3)
vec.j <- rep(c(1.2, 3.4, 2.1, 4.7), c(2, 4, 1, 0))

Questão 2

Fornecer comandos para criar vetores a seguir.

1. 10 10 10 20 20 20 30 30 30 40 40 40 50 50 50
2. 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1
3. 51 52 53 54 55 56 51 52 53 54 55 56
4. 0.2 1.7 3.2 4.7 6.2 7.7
5. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
6. 8 8 12 12 12 16 16 16 16 20
7. 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5
8. 3 7 11 15 19 23
9. 1 2 4 7 11 16 22 29 37 46 56 67
10. 8 15 13 9 13 8 13 15 13 11 13 15

Questão 3

Considere o vetor com elementos

• 8 15 13 9 13 8 13 15 13 11 13 15

Fornecer comandos que calculem para este vetor o solicitado a seguir. Forneça também o resultado esperado.

1. Quantos valores únicos há no vetor?
2. Quais os valores são maiores que 10?
3. Quantos são os valores são maiores que 13?
4. Qual a proporção de valores maiores que 13?
5. Qual o resultado em somar o vetor dado com um outro vetor de elementos 10 8 12 9 11 ?
6. Quantos valores do vetor são divisíveis por 3? Quais são eles?
7. Quantas vezes ocorrem cada valor do vetor?
8. Qual o valor mais frequente?

Questão 4

Simulações (de Monte Carlo) podem ser usadas para estimar a probabilidade de eventos, de mais simples a mais elaboradas. Explique de forma objetiva e/ou algoritmica como obter uma aproximação por simulação para as probabilidades e quantidades solicitadas a seguir. Para cada item forneça comando em \(\textsf{R}\) para solução teórica e os comendos para obter a aproximação por simulação.

1. a probabilidade \(P(Y > 6)\) para \(Y \sim \text{Gama}(3, 1)\),
2. a probabilidade \(P(2.5 < Y < 5)\) para \(Y \sim \text{Gama}(3, 1)\),
3. a probabilidade \(P(Y > 5.2 | Y < 8)\) para \(Y \sim \text{Gama}(3, 1)\),
4. a probabilidade \(P(3 < Y < 6 | Y < 7.5)\) para \(Y \sim \text{Gama}(3, 1)\),
5. o valor de \(q\) tal que \(P[Y < q] = 0.90\) para \(Y \sim \text{Gama}(3, 1)\),
6. a amplitude interquartílica \(Y \sim \text{Gama}(3, 1)\),
7. a média de uma variável aleatória \(X\) quando \(X|y \sim \text{Poisson}(\lambda = y)\) e \(Y \sim \text{Gama}(3, 1)\),
8. a variância de \(X\).
9. a probabilidade \(P(X > 4)\) para \(X\) definido no item anterior.

Na solução suponha que tem-se um gerador de números aleatórios das distribuições envolvidas.

Respostas:

a	b	c	d	e	f	g	h	i
0.0619688	0.4191611	0.096358	0.2642308	5.32232	2.193103	2.9923	5.910632	0.2303

Questão 5

Suponha que uma oficina especializada receba, em média, um número diário de serviços que pode ser descrito por uma distribuição de Poisson com média 2,4 serviços/dia. Suponha ainda que o valor de cada serviço (em milhares de reais) segue uma distribuição \(\text{Gama}(4, 1)\). Deseja-se obter informações da receita semanal (cinco dias), tais como: receita esperada, chance de ocorrer uma semana com receita abaixo de 30, probabilidade da receita ultrapassar o valor de 20 unidades, receita que deve ocorrer em pelo menos 80% das semanas. Explique como uma simulação poderia ser utilizada para obter estimativas de interesse mencionadas e forneça (pseudo-)código/algoritmo para simulação.

Elementos para solução

Variáveis do problema: \[ \begin{align*} Y &: \mbox{número de serviços em um dia} \\ Y &\sim \text{P}(2,4) \\ X &: \mbox{valor de um serviço} \\ X &\sim \text{G}(4,1) \\ \end{align*} \]

Resultados de probabilidades, assumindo independência entre as v.a’s.

• Se \(Y_i \sim \text{P}(\lambda_i)\) então \(\sum_i Y_i \sim \text{P}(\sum_i \lambda_i)\).
• Se \(X_i \sim \text{G}(\alpha_i, \beta)\) então \(\sum_i X_i \sim \text{G}(\sum_i \alpha_i, \beta)\).

No contexto do problema. \[ \begin{align*} S_Y &: \mbox{número de serviços em uma semana} \\ S_Y = Y_1 + Y_2 + \ldots + Y_5 &\sim \text{P}(5 \times 2.4 = 12) \\ S_x &: \mbox{valor total dos serviços de uma semana} \\ S_x &\sim \text{G}(S_y \times 4,\; 1) \\ \end{align*} \]

Possíveis soluções:

• Gerar \(Y\) e \(X\) individualmente.
• Usar propriedade de soma de Poisson’s (\(S_y\)) para número de serviços semanais, gerar este número de gamma’s e somar.
• Usar também o resultado de soma de gamas (\(S_x\)) com a mesma taxa é gamma com a dos valores de forma.
• Usar \(S_y\) e \(S_x\) e gerar todas as simulações de uma só vez vetorialmente.

Respostas:

Quantidades solicitadas.

mean(fatura)
# [1] 47.99579
mean(fatura < 30)
# [1] 0.116697
mean(fatura > 20)
# [1] 0.978158
quantile(fatura, prob = 0.8)
#    80% 
# 60.722

Questão 6

Dois atendentes, \(A\) e \(B\) começam a atender clientes ao mesmo tempo em um restaurante fast-food. Eles combinam de fazer uma pausa para tomar um café após cada um atender 10 clientes. Desta forma, um deve encerrar o atendimento de seus 10 clientes antes do outro e aguardar.
Considera-se que os tempos de atendimento são variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição exponencial de 0,3 clientes por minuto.
As questões de interesse são:

• quanto tempo, em média, vai ser o tempo de espera do atendente que terminar primeiro o atendimento de 10 clientes?
• qual o desvio padrão do tempo de espera?
• qual a probabilidade do tempo de espera ultrapassar 10 minutos?
• qual a probabilidade de o tempo de espera ser menor que 5 minutos?
• qual o tempo abaixo do qual devem ocorrer 80% das esperas? Explique como obter este resultado por simulação fornecendo (pseudo-)código/algoritmo.

Eu rodei a simulação cinco vezes com 100, 1000 e 10000 simulações em cada vez. A tabela a seguir mostra os tempos médios de espera obtidos. Explique as variações de valores nas linhas e colunas.

N100	12.66901	10.33477	13.49592	9.987037	11.70054
N1000	11.72536	11.75399	11.84676	11.638056	11.79953
N10000	11.82747	11.72258	11.82888	11.735828	11.54648

Respostas:

mean(espera)
# [1] 11.73678
sd(espera)
# [1] 9.204399
mean(espera > 10)
# [1] 0.48678
mean(espera < 5)
# [1] 0.2733
quantile(espera, prob = 0.80)
#      80% 
# 18.78261

Questão 7

Atribui-se o início do tratamento matemático formal da teoria de probabilidades a problemas envolvendo jogos.
Em particular é citado o problema de Chevalier de Méré dos anos de 1650’s, em que buscava-se saber em qual das duas situações a seguir haveria a maior chance de ganhar.

1. Jogo 1: joga-se um dado (honesto) no máximo quatro vezes e vence se obtiver pelo menos um seis.
2. Jogo 2: joga-se dois dados (honestos) no máximo 24 vezes e vence se obtiver uma dupla de seis.

Chevalier de Méré decidiu então, seguindo os melhores princípios, jogar cada uma dos jogos inúmeras vezes e verificar com que frequencia ganhava em cada caso.
Baseado neste experimento ele verificou qual em qual dos jogos tinha melhores chances.
Ele não tinha, à época, o conhecimento para fazer cálculos exatos destas probabilidades.

Vamos explorar este problema para ilustrar como algorítmos computacionais podem simular experimentos que permitem avaliar probabilidades de interesse.
Neste caso, é possível obter o resultado com uma solução formal (analítica). Entretanto, a solução computacional é mais geral, portanto útil para tratar outros problemas que não podem ser resolvidos analiticamente.

1. Obtenha a solução formal (analítica) do problema calculando a probabilidade de vencer em cada jogo.
2. Descreva como seria repetido o experimento prático de Chevalier, porém usando uma simulação computacional para obter a probabilidade de vencer em cada jogo.
3. Detalhe os resultados do experimento computacional mostrando como as probabilidades se comportam para números crescentes de experimentos computacionais.