CE-009: Introdução à Estatística - Turma: A, Prova Final (05/07/2017)

GRR: _________________ Nome: ________________________________________________ Turma: _________

1.
Um lote é formado por 10 animais sadios, quatro com problams menores e dois com problemas graves. Todos os animais são numerados e é feita a escolha de um animal ao acaso.
(a)
Tal situação pode ser considerada um experimento aleatório? Justifique.
(b)
Defina o espaço amostral.

Encontre a probabilidade de que o animal selecionado:

(c)
não tenha problemas,
(d)
não tenha problemas graves,
(e)
seja sadio ou tenha problemas graves.

Se do lote de animais descrito anteriormente forem selecionados dois animais

(f)
qual será o espaço amostral?

E calcule a probabilidade que:

(g)
ambos sejam sadios,
(h)
ao menos um seja sadio,
(i)
no máximo um seja sadio,
(j)
exatamente um seja sadio,
(k)
nenhum deles seja sadio

Solução:

(a)
Sim, pois a escolha do animal é feita ao acaso, e portanto não há como saber qual será o estado do animal selecionado.
(b)
Notação: S : sadio, M : com problemas menores, G : problemas graves
Ω = {S,M,G}
(c)
P[S] = 1016- = 0, 625
(d)
P[G] = 1 P[G] = 1  2
16 = 14
16 = 0, 875
(e)
P[S G] = P[S] + P[G] P[S G]M.E.
 =10
16 + 2-
16 0 = 12
16 = 0, 75
(f)
Ω = {(SS), (SM), (SG), (MM), (MG), (GG)}
(g)
P[SS] = 10
16 9-
15 = 90-
240 = 38 = 0, 375
(h)
P[SS] + P[SM] + P[SG] = 10
16 -9
15 + 2 10
16 4-
15 + 2 10
16 -2
15 = 210
240 = 78 = 0, 875
(i)
P[SS] = 1 P[SS] = 1 1106 915- = 152400- = 58 = 0, 625
(j)
P[SM] + P[SG] = 2 10
16  4
15 + 2 10
16 2
15 = 120
240- = 12 = 0, 5
(k)
P[SS] = 6-
16 5-
15 = 30-
240 = 18 = 0, 125

________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2. Um contador eletrônico de bactérias registra, em média, 2,4 bactérias por cm3 de um líquido. Admita que a váriável tem distribuição adequada dentre as vistas no curso e obtenha as probabilidades:

(a)
de que se encontre ao menos três bactérias em uma amostra de 1 cm3,
(b)
de que se encontre ao menos três bactérias em uma amostra de 2 cm3,

Solução:

X : número de bactérias por volume de líquido
x ∈{0, 1, 2,}
X P(λ)
P[X = x] = e− λλx
------
  x!
(a)
λ = 2, 4−→P[X 3] = 1−{P[X = 0]+P[X = 1]+P[X = 2]} = 1−{ −2,4  0
e--02!,4+−2,4 1
e-12!,4-+−2,4 2
e-22!,4-} = 1 e2,4{1 + 2, 4 + 2,42
 2} = 1 0, 57 = 0, 43
(b)
λ = 4, 8−→P[X 3] = 1−{P[X = 0]+P[X = 1]+P[X = 2]} = 1−{e−4,84,80
   0!+e−4,84,81-
  1!+e−4,84,82-
  2!} = 1 e4,8{1 + 4, 8 + 4,82
 2} = 1 0, 14 = 0, 86

________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3. A observação dos pesos, X, de um grande número de espigas de milho mostrou que essa variável é normalmente distribuída com média μ = 90g e desvio padrão σ = 7g. Em um programa de melhoramento, entre outras características, uma linhagem, para continuar sendo avaliada no programa, deve satisfazer a condição 78g < X < 104g. Nestas condições, em um programa de melhoramento com 200 linhagens pergunta-se.

(a)
Qual a probabilidade de uma linhagem ser aceita?
(b)
Qual o número de linhagens consideradas que deverá então serem descartadas do programa?
(c)
Qual o peso acima do qual espera-se encontrar 15% das linhagens?

Solução:

X : peso de espigas
X N(μ = 902 = 72)
C : Condição : 78g < X < 104g
(a)
P[78 < X < 104] = P[78−90
  7 < Z < 104−90-
  7] = P[1, 71 < Z < 2] = 0, 934
(b)
200 ⋅{1 P[78 < X < 104]} = 200 ⋅{1 0, 934} = 13
(c)
P[X > k] = 0, 15−→z = k−790 = 1, 04−→k = 90 + 7 1, 04 = 97, 3

________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4. Suponha agora, no contexto do problema anterior, que uma única linhagem foi selecionada para ser testada em maior detalhe e foram obtidos as seguintes medidas de pesos de suas espigas:
102   89   85   91   88   95   99   87   91   95   93   89   92   97.

(a)
Obtenha duas medidas de posição dos dados.
(b)
Obtenha duas medidas de dispersão dos dados.
(c)
Construa um boxplot das observações.
(d)
Obtenha um intervalo de confiança (95%) para a produtividade média.
(e)
Baseado nas análises acima, pode-se qfirmar que a linhagem selecionada apresenta um comportamento estatísticamente diferente da população de pesos mencionada na questão anterior? Justifique sua resposta.

Solução:

(a)
A média é x = 92, 4 e a mediana é md(x) = 91, 5
(b)
O desvio padrão é S = 4, 81 e a amplitude interquartílica é AI = 6
(c)

PIC
Figura 1: Box-plot dos dados de peso de espigas

não inclui


(d)
x ± t0.95,14  S√---
   n
92, 36 ± 0, 826 1, 29
92, 4 ± 1, 06
(91, 29; 93, 42)
(e)
A linhagem selecionada apresenta uma média estatisticamente diferente da anterior (90) já que seu IC o valor 90.

________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5. Foram escolhidos ao acaso 500 animais (bovinos) de uma região para estimar a proporção de com propenção à uma certa doença. Destes, 120 testaram positivo.

(a)
Obtenha a estimativa pontual do percentual de susceptíveis na população.
(b)
Obtenha a estimativa intervalar (com confiança de 95%) do percentual de susceptíveis na população.
(c)
Idem anterior porém com confiança de 80%.
(d)
Deseja-se extender o levantamento para obter uma margem de erro de 1,5% para 95% de confiança. Quantos animais adicionais devem ser selecionados e testados?

Solução:

População:

X : propenção à doença, 0 - não propenso, 1 - propenso
X B(p)
p : parâmetro desconhecido

Amostra:

Dados:
n = 500; i=1500x i = 120
Estimador:
ˆp = ∑
--5i0=01xi-
   n
Estimativa:
ˆp = 120
----
500 = 0, 24
Distribuição amostral:
ˆp N(μˆp = p,σˆp 2 = p(1-−-p)
   n)

(a)
ˆp = 0, 24
(b)
Intervalo assintótico (tomando p = ˆp )
ˆp ± z0.95∘  p(1-−-p)-
      n
0, 24 ± 1, 96 0, 019
0, 24 ± 0, 0374
(0, 203; 0, 277)
(c)
ˆp ± z0,80∘  ---------
   p(1 − p)
   --------
      n
0, 24 ± 1, 28 0, 019
0, 24 ± 0, 0245
(0, 216; 0, 264)
(d)
ME = z0.95∘  p(1-−-p)-
      n
0, 015 = 1, 962∘ ---------------
  0.24(1-−-0.24)
        n
n = 1, 9620.24(1 −-0.24-)
   0, 0152
n = 3115
Portanto 2615 novas amostras.

Soluções computacionais com o programa R:

  > prop.test(120, 500, conf=0.95)$conf

  [1] 0,2037 0,2804
  attr(,"conf.level")
  [1] 0,95

  > prop.test(120, 500, conf=0.80)$conf

  [1] 0,2154 0,2663
  attr(,"conf.level")
  [1] 0,8

______________________________________________________________________________________