CE-009: Introdução à Estatística - Turma: A, 1a Prova (05/05/2017)

GRR: _________________ Nome: ________________________________________________ Turma: _________

Para as questões (1) a (5) a seguir considere que há três tipos de sementes de milho, A, B e C, com taxas de germinação de 80, 90 e 95%, respectivamente.

Notação e dados:

G : a semente germinaG : a semente não germina
A : a semente é do tipo A
B : a semente é do tipo B
C : a semente é do tipo C
P[G|A] = 0, 80P[G|B] = 0, 90P[G|A] = 0, 95
P[G|A] = 0, 20P[G|B] = 0, 10P[G|A] = 0, 05
1.
Tomando-se, aleatoriamente, uma semente de cada tipo, qual a probabilidade de que alguma delas germine?

Solução:
P[(G|A)(G|B)(G|C)] = 1P[(G|A)(G|B)(G|C)]in=d.1−{P[(G|A)]P[(G|B)]P[G|C)] = 10, 200, 100, 05 = 0, 999

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2.
Um lote é feito com 20% de sementes do tipo A, 30% de B e 50% de C. Toma-se uma semente ao acaso deste lote e verifica-se que ela não germina. Determine de qual tipo a semente tem maior chance de ser. (Dica: Calcule as probabilidades da semente ser de cada um dos tipos).

Solução:

P[A] = 0, 20P[B] = 0, 30P[C] = 0, 50
Pelo Teorema de Bayes:
P[A|G] =                  --
               P[G |A ]P[A ]
------------------------------------------
P [G |A]P [A ] + P [G |B ]P[B ] + P [G|C ]P [C ] =              0,20 ⋅ 0,20
-------------------------------------
0,20 ⋅ 0,20 + 0,10 ⋅ 0,30 + 0,05 ⋅ 0,50 = 0, 421
P[B|G] =                  --
               P[G |B ]P[B ]
------------------------------------------
P [G |A]P [A ] + P [G |B ]P[B ] + P [G|C ]P [C ] =              0,10 ⋅ 0,30
-------------------------------------
0,20 ⋅ 0,20 + 0,10 ⋅ 0,30 + 0,05 ⋅ 0,50 = 0, 316
P[B|G] =                  --
               P[G |C ]P[C ]
------------------------------------------
P [G |A]P [A ] + P [G |B ]P[B ] + P [G|C ]P [C ] =              0,05 ⋅ 0,50
0,20 ⋅-0,20 +-0,10-⋅ 0,30-+-0,05-⋅ 0,50 = 0, 263
3. São tomadas 6 sementes do tipo A para um teste. Qual a probabilidade de que três ou mais não germinem?

Solução:

X : número de sementes que não germinam dentre seis testadas
x ∈{0, 1, 2,6}
X B(n = 6,p = 0, 2)
P[X 3] = P[X = 3] + P[X = 4] + P[X = 5] + P[X = 6]
= (  )
  6
  30, 2030, 803 + ( )
 6
 40, 2040, 802 + (  )
  6
  50, 2050, 801 + (  )
  6
  60, 2060, 800 = 0, 09888
Solução computacional:
  > pbinom(2, size=6, prob=0.2, lower=FALSE)

  [1] 0,09888

______________________________________________________________________________________ 4. Sementes do tipo B são tomadas testadas uma a uma até que seja encontrada a primeira que não germine. Qual a probabilidade de que seja necessário tomar quatro ou mais sementes?

Solução:

X : número de sementes testadas que germinam que seja encontrada a primeira que não germinam
x ∈{0, 1, 2,}
X G(n = 6,p = 0, 2)
P[X 3] = 1 P[X 2] = 1 −{P[X = 0] + P[X = 1] + P[X = 2]}
= 1 −{0, 9000, 10 + 0, 9010, 10 + 0, 9020, 10} = 1 0, 10 ⋅{0, 900 + 0, 901 + 0, 902} = 0, 729
OBS: note a definiçãode X como o “numero de falhas até o primeiro sucesso” (e não o número de tentativas...)

Solução computacional:

  > pgeom(2, prob=0.1, lower=FALSE)

  [1] 0,729

______________________________________________________________________________________ 5. Foram misturadas em uma amostra 30 sementes do tipo B e 10 do tipo C. Serão tomadas ao acaso, oito sementes da mistura para testes. Qual a probabilidade de que se tenha ao menos duas delas do tipo C.

Solução:

X : número de sementes do tipo C
x ∈{0, 1, 2,8}
X HG(N = 40,K = 10,n = 8)
P[X 2] = 1 P[X 1] = 1 −{P[X = 0] + P[X = 1]} = 1 {                   }
  (10)(30)   (10)(30)
  -0(40)8--+ --1(407)--
     8          8 = 0, 6592

Solução computacional:

  > phyper(1, m=10, n=30, k=8, lower=FALSE)

  [1] 0,6592

______________________________________________________________________________________ 6. Estudos mostram que no plantio do tipo B ocorre, em média, 1,4 falhas por 10 metros de plantio.

(a)
Qual a probabilidade de ocorrer no máximo duas falhas em uma determinada linha de plantio de 10 metros?
(b)
Qual a probabilidade de ocorrer cinco ou mais falhas em 20 metros de plantio?

Solução:

(a)
X1 : número de falhas em 10 metros de plantio
x ∈{0, 1, 2,}
X P(λ = 1, 4)
P[X 2] = P[X = 0] + P[X = 1] + P[X = 2] = e −1,41,40
---------
    0! + e− 1,41,41
---------
    1! + e−1,41,42
---------
    2!
= e1,4(    0       1      2)
  1,4--+ 1,4--+  1,4--
   0!      1!     2! = e1,4(              2)
 1 + 1,4 + 1,-4-
             2 = 0, 8335
(b)
X2 : número de falhas em 20 metros de plantio
x ∈{0, 1, 2,}
X P(λ = 2, 8)
P[X 5] = 1 −{P[X = 0] + P[X = 1] + P[X = 2] + P[X = 3] + P[X = 4]}
= 1 {                                                         }
  e−-2,82,80   e−2,82,-81   e−2,82,82-   e−2,82,83-  e-−2,82,84
      0!    +    1!    +     2!    +     3!    +     4!
= e2,8(    0      1       2      3      4 )
  2,8--+ 2,8--+ 2,-8-+  2,8--+ 2,8--
   0!     1!      2!     3!     4! = e2,8(              2      3       4)
  1 + 2,8 + 2,8--+ 2,8--+  2,8--
             2       6      24 = 0, 1523

Soluções computacionais:

  > ppois(2, lambda=1.4)

  [1] 0,8335

  > ppois(4, lambda=2.8, lower=FALSE)

  [1] 0,1523

______________________________________________________________________________________ 7. Seja a função de densidade de probabilidade dada por f(x) = K(10 2x)I[0,5](x).

(a)
Determine o valor de K para que f(x) seja uma função de densidade de probabilidade.
(b)
Calcule P[X > 4]
(c)
Calcule P[X 4]
(d)
Calcule P[2 < X < 3]
(e)
Calcule P[X > 4|X > 2]
(f)
Calcule os quartis da distribuição.
(g)
A média da distribuição (E[X]) é: (a) E[X] < 2, 5 , (b) E[X] = 2, 5 ou (c) E[X] > 2, 5 ? Justifique.

Solução:


PIC
Figura 1: Função de densidade de probabilidade de f(x) = 0.04(10 2x)I[0,5](x) e seus quartis.


Os cálculos para responder os items solicitados podem ser feitos por (i) integração ou (ii) por área de figuras planas sob o gráfico. Vamos aqui fazer por área de figuras. Na solução computacional utilizamos integração.

(a)
05f(x)dx = 1
B  ⋅ h
-----
  2 = 5 ⋅ 10K
--------
   2 = 1
K = 0, 04 = 125
(b)
P[X > 4] = 45f(x)dx = B⋅h-
 2 = (5−-4)⋅f(4)
   2 = (5−-4)⋅0,04
   2 = 0, 04
(c)
P[X 4] = 1 P[X > 4] = 1 0, 04 = 0, 96
(d)
P[2 < X < 3] = (B+b)⋅h
---2-- = (f(2)+f (3))⋅(3−2)
------2------- = (0,24+0,16)⋅1
-----2---- = 0, 20
(e)
P[X > 4|X > 2] = P[X>4∩X->2]
  P [X>2] = P[X->4]
P[X >2] = ((5−4)f(4))∕2-
((5−2)f(2))∕2 = --0,08-
(3⋅0,24) = 0, 111
(f)
q1 : 0q1 f(x)dx = 0, 25−→ q15f(x)dx = 0, 75−→(5 −-q1)f-(q1)
      2 = 0, 75−→q1 = 0, 67
q2 : 0q2 f(x)dx = 0, 50−→ q25f(x)dx = 0, 50−→(5 −-q2)f-(q2)
      2 = 50−→q2 = 1, 46
q3 : 0q3 f(x)dx = 0, 75−→ q35f(x)dx = 0, 75−→(5 − q3)f (q3)
-------------
      2 = 0, 75−→q3 = 2, 5
(g)
A média é E[X] < 2, 5 pois a distribuição é assimétrica com maior massa de probabilidade abaixo deste valor.

Resoluções computacionais:

  > fxK <- function(x){ifelse(x>0 & x<5, (10-2*x), 0)}
  > K <- 1/integrate(fxK, 0, 5)$value
  > require(MASS)
  > fractions(1/integrate(fxK, 0, 5)$value)

  [1] 1/25

  > fx = function(x) ifelse(x>0 & x<=5, K*(10-2*x), 0)
  > Fx = function(x) {x[x<0] <- 0;x[x>5] <- 5; K*(10*x-x^2)}
  > integrate(fx, 0, 5)$value

  [1] 1

  > (I1 <- integrate(fx, 4, 5)$value)

  [1] 0,04

  > 1 - Fx(4)

  [1] 0,04

  > (I2 <- integrate(fx, 0, 4)$value)

  [1] 0,96

  > Fx(4)

  [1] 0,96

  > (I3 <- integrate(fx, 2, 3)$value)

  [1] 0,2

  > Fx(3) - Fx(2)

  [1] 0,2

  > (I4 <- integrate(fx, 4, 5)$value/integrate(fx, 2, 5)$value)

  [1] 0,1111

  > (1-Fx(4))/(1-Fx(2))

  [1] 0,1111

  > qfx <- function(p)
  +     optimize(function(x) (Fx(x) - p)^2, interval = c(0, 5))[[1]]
  > (q1 <- qfx(0.25))

  [1] 0,6699

  > integrate(fx, 0, q1)$value

  [1] 0,25

  > (q2 <- qfx(0.5))

  [1] 1,464

  > integrate(fx, 0, q2)$value

  [1] 0,5

  > (q3 <- qfx(0.75))

  [1] 2,5

  > integrate(fx, 0, q3)$value

  [1] 0,75

______________________________________________________________________________________ 8. O peso de um certo tipo de semente de soja (expresso como peso de 1000 sementes) possui média de 170 g e desvio padrão de 12 g. Tomando-se um lote de 1000 sementes calcule:

(a)
a probabilidade de que o peso esteja acima 150 g,
(b)
a probabilidade de que o peso esteja entre 170 e 180 g,
(c)
a probabilidade de que o peso esteja entre 165 e 180 g,
(d)
a probabilidade de que o peso esteja acima 190 g,
(e)
o valor cuja probabilidade de estar acima dele seja de 0,15.
(f)
Supondo o mesmo desvio padrão, qual deveria ser o peso médio tal que a probabilidade do lote estar abaixo de 150 g fosse no máximo de 0,5%?

Solução:

X : peso de 1000 sementes
X N(400, 452)
(a)
P[X > 150] = P[Z > 150−11270] = P[Z > 1, 667] = 0, 9522
(b)
P[170 < X < 180] = P[1701−2170- < Z < 180−11270] = P[0 < Z < 0, 833] = 0, 2977
(c)
P[165 < X < 180] = P[165−170
--12--- < Z < 180−170
---12--] = P[0, 417 < Z < 0, 833] = 0, 4592
(d)
P[X > 190] = P[Z > 190−170
   12] = P[Z > 1, 667] = 0, 0478
(e)
P[X > a] = 0, 15−→z = 1, 04 = a−170
 12−→a = 182, 4
(f)
P[X < 150|μ,σ = 12] = 0, 005−→z = 2, 58 = 150−μ
  12−→μ = 180, 9

Solução computacional com o programa R:

  > (ita <- round(pnorm(150, 170, 12, low=F),dig=4))

  [1] 0,9522

  > (itb <- round(diff(pnorm(c(170, 180), 170, 12)),dig=4))

  [1] 0,2977

  > (itc <- round(diff(pnorm(c(165, 180), 170, 12)),dig=4))

  [1] 0,4592

  > (itd <- round(pnorm(190, 170, 12, low=F),dig=4))

  [1] 0,0478

  > (ite <- round(qnorm(0.85, 170, 12), dig=1))

  [1] 182,4

  > (itf <- round(150-qnorm(0.005)*12, dig=1))

  [1] 180,9

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