CE-003: Estatística II, turma S, Prova Final - 1o semestre 2008 (30/06/2008)


  1. (4,0 pontos) A seguir são apresentados resultados de algumas análises descritivas feitas com os dados desta turma neste semestre e nesta discilina. As variáveis análisadas são as notas das três provas, a média parcial do semestre e o número de faltas. A matriz de dados mostra os coeficientes de correlação de Spearman entre as variáveis em duas situações, com todos os alunos (5 primeiras colunas) e somente com os não desistentes (5 últimas colunas). Discuta os resultados.


    PIC


    PIC


    PIC


    PIC

             Prova1 Prova2 Prova3 Media Faltas Prova1 Prova2 Prova3 Media Faltas
      Prova1   1.00   0.21   0.17  0.59  -0.38   1.00   0.08   0.17  0.42  -0.16
      Prova2   0.21   1.00   0.62  0.74  -0.17   0.08   1.00   0.62  0.77   0.00
      Prova3   0.17   0.62   1.00  0.89  -0.21   0.17   0.62   1.00  0.89  -0.21
      Media    0.59   0.74   0.89  1.00  -0.70   0.42   0.77   0.89  1.00  -0.16
      Faltas  -0.38  -0.17  -0.21 -0.70   1.00  -0.16   0.00  -0.21 -0.16   1.00

  2. (4,0 pontos) Na Prova 1 os alunos tiveram uma nota média de 43 e uma variância de 206. Assumindo que as notas seguem uma distribuição normal responda:
    1. qual a probabilidade de um aluno sorteado do grupo ter nota superior a 50?
    2. qual a probabilidade de um aluno sorteado do grupo ter nota entre 40 e 70?
    3. qual a probabilidade de um aluno sorteado do grupo ter nota menor que 25 ou maior que 75?
    4. quais as notas de valores simétricos em relação a média entre as quais estão 80% das notas dos alunos
    5. qual valor da variância das notas seria necessário para que ao menos 95% das notas dos alunos estivessem entre os valores encontrados no item anterior?
    6. Qual a probabilidade da média das notas de quatro alunos sorteados ao acaso ser superior a 50?
    7. Se a soma das notas de 10 alunos sorteados ao acaso for superior a 550, a turma é selecionada para participar de uma competição. Qual a probabilidade da turma não participar da competição?
    8. excluindo-se a maior e menor nota a variância das notas passa a ser de 156, enquanto que a média não se altera. Com estes valores indique, sem necessariamente fazer os cálculos, se as probabilidades calcumadas em (a), (b) e (c) vão aumentar ou diminuir. Indique ainda o que deve acontecer com os valores do item (d) e também com as probabilidade dos ítens (f) e (g).

    Solução:

    X    :  nota na prova
X   ~   N(μ =  43,σ2 = 206 )
    1. P[X > 50] = P[Z > 502-0463] = 0.3129
    2. P[40 < X < 70] = 0.5528
    3. P[X < 25 ou X > 75] = P[X < 25] + P[X > 75] = 0.1049 + 0.0129 = 0.1178
    4. P[μ - Pa [x<1X< <Xμ<+ x2a]] ==   00..8800
    P[μ < X  < μ +  a] =   0.4
                    z  =   μ-+-a---μ-=  1.28
                               σ
                    a  =   18.39

          x1 = 24.61    ;   x2 = 61.39
    5.              X   ~   N(43, σ2)

P [x1 < X  < x2 ] =   0.95
              z  =   x2---μ-=  1.96
                       σ
                     ( 61.39 - 43)2
             σ2  =     -----------  =  88.04
                          1.96
    6.          ¯X   ~   N (43,206∕4)
          4
P [ ¯X4 > 50] =   P [Z  > ∘50 --43] = 0.165
                           206∕4
    7.              ¯X10  ~   N(43, 206∕10)
  ∑                                          55 - 43
P[    X10 < 550 ] =   P [X ¯10 < 55] = P[Z <  ∘--------] = 0.996
  i=1                                         206 ∕10
    8. (a) diminui (0.2876), (b) aumenta (0.5796), (c) diminui (0.08) , (d) mais próximos à média (26.99,(59.01)), (f) diminui (0.131), (g) aumenta (0.999)

  3. (2,0 pontos) Seja a função f(x) = k(1 + 2x) para 0 < x < 2.
    1. qual deve ser o valor de k para que f(x) seja função de densidade de probabilidade?
    2. encontre o percentil 30 desta distribuição.

    Solução:

    1. 02k(1 + 2x)dx = 1 k = 16
    2. 0P3016(1 + 2x)dx = 0, 30 P 30 = 0.93