CE-003: Estatística II, turma S, Prova Final - 1o semestre 2008 (30/06/2008)


  1. (4,0 pontos) A seguir são apresentados resultados de algumas análises descritivas feitas com os dados desta turma neste semestre e nesta discilina. As variáveis análisadas são as notas das três provas, a média parcial do semestre e o número de faltas. A matriz de dados mostra os coeficientes de correlação de Spearman entre as variáveis em duas situações, com todos os alunos (5 primeiras colunas) e somente com os não desistentes (5 últimas colunas). Discuta os resultados.

    PIC

    PIC

    PIC

    PIC
             Prova1 Prova2 Prova3 Media Faltas Prova1 Prova2 Prova3 Media Faltas
      Prova1   1.00   0.21   0.17  0.59  -0.38   1.00   0.08   0.17  0.42  -0.16
      Prova2   0.21   1.00   0.62  0.74  -0.17   0.08   1.00   0.62  0.77   0.00
      Prova3   0.17   0.62   1.00  0.89  -0.21   0.17   0.62   1.00  0.89  -0.21
      Media    0.59   0.74   0.89  1.00  -0.70   0.42   0.77   0.89  1.00  -0.16
      Faltas  -0.38  -0.17  -0.21 -0.70   1.00  -0.16   0.00  -0.21 -0.16   1.00

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  2. (4,0 pontos) Na Prova 1 os alunos tiveram uma nota média de 43 e uma variância de 206. Assumindo que as notas seguem uma distribuição normal responda:
    1. qual a probabilidade de um aluno sorteado do grupo ter nota superior a 50?
    2. qual a probabilidade de um aluno sorteado do grupo ter nota entre 40 e 70?
    3. qual a probabilidade de um aluno sorteado do grupo ter nota menor que 25 ou maior que 75?
    4. quais as notas de valores simétricos em relação a média entre as quais estão 80% das notas dos alunos
    5. qual valor da variância das notas seria necessário para que ao menos 95% das notas dos alunos estivessem entre os valores encontrados no item anterior?
    6. Qual a probabilidade da média das notas de quatro alunos sorteados ao acaso ser superior a 50?
    7. Se a soma das notas de 10 alunos sorteados ao acaso for superior a 550, a turma é selecionada para participar de uma competição. Qual a probabilidade da turma não participar da competição?
    8. excluindo-se a maior e menor nota a variância das notas passa a ser de 156, enquanto que a média não se altera. Com estes valores indique, sem necessariamente fazer os cálculos, se as probabilidades calcumadas em (a), (b) e (c) vão aumentar ou diminuir. Indique ainda o que deve acontecer com os valores do item (d) e também com as probabilidade dos ítens (f) e (g).

    Solução:

    X : nota na prova X ~ N(μ = 43,σ2 = 206 )
    1. P[X > 50] = P[Z > 502-0463] = 0.3129
    2. P[40 < X < 70] = 0.5528
    3. P[X < 25 ou X > 75] = P[X < 25] + P[X > 75] = 0.1049 + 0.0129 = 0.1178
    4. P[μ - Pa [x<1X< <Xμ<+ x2a]] == 00..8800 P[μ < X < μ + a] = 0.4 z = μ-+-a---μ-= 1.28 σ a = 18.39 x1 = 24.61 ; x2 = 61.39
    5. X ~ N(43, σ2) P [x1 < X < x2 ] = 0.95 z = x2---μ-= 1.96 σ ( 61.39 - 43)2 σ2 = ----------- = 88.04 1.96
    6. ¯X ~ N (43,206∕4) 4 P [ ¯X4 > 50] = P [Z > ∘50 --43] = 0.165 206∕4
    7. ¯X10 ~ N(43, 206∕10) ∑ 55 - 43 P[ X10 < 550 ] = P [X ¯10 < 55] = P[Z < ∘--------] = 0.996 i=1 206 ∕10
    8. (a) diminui (0.2876), (b) aumenta (0.5796), (c) diminui (0.08) , (d) mais próximos à média (26.99,(59.01)), (f) diminui (0.131), (g) aumenta (0.999)

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  3. (2,0 pontos) Seja a função f(x) = k(1 + 2x) para 0 < x < 2.
    1. qual deve ser o valor de k para que f(x) seja função de densidade de probabilidade?
    2. encontre o percentil 30 desta distribuição.

    Solução:

    1. ∫ 02k(1 + 2x)dx = 1 ⇒ k = 1∕6
    2. ∫ 0P301∕6(1 + 2x)dx = 0, 30 ⇒ P 30 = 0.93

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