CE-003: Estatística II, turma S, 3a Prova

1o semestre 2008 - 18/06/2008

  1. Com o objetivo de se dimensionar um serviço de atendimento ao cliente, foram tomados os tempos de atendimento em minutos de 50 consultas escolhidas ao acaso. Na análise dos dados adotou-se a distribuição exponencial e, o valor calculado do tempo médio de atendimento nas 50 consultas, foi de 6,5 minutos. Neste problema identifique e descreva: qual a população, qual a amostra, qual o parâmetro de interesse, qual o estimador e qual é a estimativa. Além disto discuta qual é a distribuição amostral relevante neste problema.

    Solução:

      X    :  tempo  de atendimento  em consulta
  X   ~   Exp (λ)

f(x ) =   1-exp {- x}
          λ        λ

  2. Um atributo de interesse tem distribuição normal com média 50 e variância desconhecida. Uma amostra aleatória de 16 valores deste atributo foi selecionada da população e apresentou média ¯x = 52 e desvio padrão s = 1, 5. A probabilidade da média amostral ser maior ou igual ao resultado obtido reflete o quão atípico é o resultado da amostra, ou seja, quanto menor a probabilidade, mais atípico é considerado o resultado. Desta forma, calcule:
    1. quão atípico é o resultado da amostra obtida?
    2. considerando os mesmos valores de x¯ e s, qual deveria ser o tamanho da amostra para que a probabilidade calculada no item anterior fosse de no máximo 0,005 ?

    Solução:

         X    :  atributo de interesse
                        2
     X   ~   N(μ =  50,σ )
     X¯  ~   t(ν =  n - 1)

n = 16    ;  ¯x =  52 ; s = 1,5
 x¯--μ-
 s∕ √n-  ~   t(ν =  n - 1)
    1. P[X¯ > 52] = P[Tν=15 > 15,52-∕√5106] = 4.2e - 05
    2. t15(0.995) = 2.95 ¯x-μ
s∕√n- = 2.95 n 1,52˙2.952
-52-50- n = 10

  3. O tempo de vida de um semicondutor laser trabalhando em condições constantes é distribuído segundo uma normal de média 7.000 horas e variância de 360.000 horas2.
    1. qual a probabilidade de que uma peça dure menos que 5.000 horas?
    2. qual o tempo de duração para o qual 90% das peças superam este valor?
    3. se três lasers são usados em um produto e assumindo-se que a probabilidade falha entre eles é independente, qual a probabilidade de que os três ainda estejam funcionando após 7.300 horas?
    4. um produto contém apenas um dispositivo laser. Ao adquirir o produto, o comprador compra também dois dispositivos extras para troca quando necessário. Qual a probabilidade de que os três dispositivos garantam o funcionamento do produto por pelo menos 23.000 horas?
    5. nas condições do item anterior, qual o número necessário de dispositivos para que a probabilidade do produto funcionar por pelo menos 50.000 horas seja de pelo menos 0.90?

    Solução:

    X   :   tempo  de vida
X   ~   N(μ = 7.000, σ2 = 360.000)
X¯  ~   N(μ = 7.000, σ2 = 360.000∕n )
    1. P[X < 5000] = 0.00043
    2. P[X > k] = 0.90 k = 6231.07
    3. P[X1 > 7.300 X2 > 7.300 X3 > 7.300]ind.
=P[X1 > 7.300] P[X2 > 7.300] P[X3 > 7.300] = [P [X  > 7.300]] 3 = 0.0294
    4. P[ i=13X i > 23.000] = P[X¯3 > 23.0003] = 0.0271
    5. P[X¯ > 50.000∕n] = 0, 90 n = 8

  4. Para verificar a taxa de resposta a um determinado sinal foram enviados 1.500 sinais para os quais foram obtidas 350 respostas.
    1. obtenha um intervalo de confiança (99%) para a proporção de respostas
    2. quantos sinais deveriam ser enviados para que a margem de erro na estimativa de proporção de resposta seja de 0.5% com 99% de confiança?

    Solução:

    X   :  resposta ao sinal

X   ~  Bernoulli(p)
 ˆp  =  350 ∕1500 = 0.233
    Resultado baseado em IC conservador
    1. ˆp± zα∕2∘ -----
  1∕4n (0.2; 0.267)
    2. zα∕2∘ -----
  1∕4n n = 66349

    Resultado baseado em IC assintótico

    1. ˆp± zα∕2∘ -----
  1∕4n (0.205; 0.261)
    2. zα∕2∘ -----------
  ˆp(1 - ˆp)∕n n = 47477