CE-003: Estatística II, turma L

3a Prova - 2o semestre 2007 (29 Novembro de 2007)

  1. (8 pontos) Uma fibra sintética possui resistência à tensão com distribuição normal de média 75,5 psi e desvio padrão 3,5 psi.
    1. encontre a probabilidade de que uma amostra aleatória de tamanho n = 6 fibras contenha uma média que exceda 75,75 psi.
    2. qual seria o erro padrão da média amostral caso o tamanho da amostra passasse de n = 6 para n = 49?

    Resposta:

    X  : tensão da fibra; X ~ N (75,5 ; 3,52)
                      2
ˉX ~  N (75,5 ; 3, 5 ∕n)

    (a) P[ˉX6 > 75, 75] = P[Z > 75,73,55-∕√765,5] = 0.431

    (b) σˉX = σ∕√ --
  n = 3.5√ ---
  49 = 0.5

  2. (7 pontos) Tintas para pavimentos de rodovias são fornecidas em duas cores: amarela e branca. Deseja-se estudar o tempo de secagem e em particular suspeita-se que a tinta amarela seca mais rápido do que a branca. Para isto foram tomadas amostras de pinturas em cada cor e mediu-se os tempos de secagem. Teste a hipótese de interesse ao nível de 5% de significância.

    Branca: 120, 132, 123, 122, 140, 110, 120, 107
    Amarela:126, 124, 116, 125, 109, 130, 125, 117, 129, 120

    Resposta:
    Primeiro vamos testar a igualdade das variâncias.


      > branca <- c(120, 132, 123, 122, 140, 110, 120, 107)
      > amarela <- c(126, 124, 116, 125, 109, 130, 125, 117, 129, 120)
      > var.test(branca, amarela)

       F test to compare two variances
      
      data:  branca and amarela
      F = 2.6773, num df = 7, denom df = 9, p-value = 0.1705
      alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
      95 percent confidence interval:
        0.6379054 12.9132897
      sample estimates:
      ratio of variances
                2.677319

    A seguir as médias.

    H0  : μB = μA versus  Ha  : μB > μA

      > t.test(branca, amarela, alternative = "greater", var.eq = TRUE,
      +     conf = 0.95)

       Two Sample t-test
      
      data:  branca and amarela
      t = -0.0857, df = 16, p-value = 0.5336
      alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
      95 percent confidence interval:
       -7.481192       Inf
      sample estimates:
      mean of x mean of y
         121.75    122.10

    A conclusão é que não se rejeita H0, ou seja, não há evidências que a tinta amarela seque mais rapidamente do que a branca.

  3. (4 pontos) Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo de 5% de itens defeituosos na produção. A cada 15 minutos sorteia-se uma amostra de 20 peças e, havendo mais que 12% de defeituosas, pára-se a produção para verificações. Qual a probabilidade de uma parada desnecessária?

    Resposta:

    P [Parada desnecessária]  =  P [ˆp > 0,12∣p = 0,05] =

                          =  P [∘---ˆp --p---->  ∘----0,12---0,05------] = P[Z >  1.44] = 0.075
                                  p(1 - p)∕n      (0,05)(1 - 0,05)∕20
  4. (8 pontos) Defina e ou discuta de forma comparativa (se quiser use exemplos) os conceitos:
    1. parâmetro, estimador e estimativa
    2. estimador consistente, estimador não viciado e estimador eficiente
    3. erro tipo I e erro tipo II em testes de hipótese
  5. (8 pontos) Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a proporção p de eleitores favoráveis a seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 200 revelou que 58% dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão.
    1. determine o tamanho necessário da amostra a ser tomada para que o erro cometido na estimação seja de, no máximo, 0,01 com probabilidade de 0,80.
    2. Se na amostra final com tamanho n obtido no item anterior, observou-se que 54% dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão, construa um intervalo de confiança (99%) para a proporção p.

    Resposta:
    (a)

      ∘ ---------
     p(1 - p)
zα   --------=  0.01
        n
         z2p(1 - p)    1.282.(0.58)(1 - 0.58)
n =  -α---------=  ---------------------=  4001
       0, 012             0, 012

(b)


  > n <- ceiling((qnorm(0.9)^2) * (0.58) * (1 - 0.58)/(0.01^2))
  > prop.test(0.54 * n, n, conf = 0.99)$conf

  [1] 0.5195294 0.5603373
  attr(,"conf.level")
  [1] 0.99