CE-003: Estatística II, turma S, 2a Prova

1o semestre 2008 - 28/05/2008

  1. (Montgomery, 1994) Um dispositivo está ocioso/disponível (idle) 15% do tempo. Você vai enviar requisições de acesso imediato ao dispositivo cinco vezes durante certo período. Assumindo que as requisições sejam independentes calcule as probabilidades de que o dispositivo:
    1. esteja ocioso em todas as requisições;
    2. esteja ocioso em exatamente três requisições;
    3. esteja disponível em pelo menos três requisições;
    4. nunca esteja disponível.

    Solução:

    X    :  número  de vezes que o dispositivo está ocioso

X   ~   B (n =  5,p = 0,15)
    1. P[X = 5] = 7.59e-05
    2. P[X = 3] = 0.0244
    3. P[X 3] = 0.0266
    4. P[X = 0] = 0.4437

  2. (Magalhães, 2006) Um carcereiro informa a três prisioneiros que um deles foi sorteado para ser executado no dia seguinte, enquanto que os outros dois serão libertados. O prisioneiro João Espeto se aproxima do carcereiro e cochicha no seu ouvido, solicitando que ele lhe conte qual dos outros dois prisioneiros será solto. O prisioneiro argumenta que isto não altera em nada a situação, visto que pelo menos um destes será solto. Entretanto, o carcereiro não atende seu pedido, acreditando que isto poderia dar ao João Espeto alteração nas suas espectativas de ser libertado. Voce acha que o carcereiro tem razão? Justifique sua resposta.
  3. Suponha que o tempo entre requisições recebidas por um servidor tenha distribuição exponencial com tempo médio de 10 segundos. Determine:
    1. a probabilidade do servidor receber uma nova requisição em menos de cinco segundos após a chegada da primeira;
    2. a probabilidade do servidor ficar ao menos 15 segundos sem receber uma requisição;
    3. tendo o servidor ficado já 10 segundos sem receber requisição, a probabilidade do servidor ficar ao menos mais 15 segundo ser receber requisições;
    4. o tempo entre requisições até o qual espera-se receber 90% das requisições.

    Solução:

      X    :  tempo  entre requisições
  X   ~   Exp (λ = 1∕10)

f(x)  =   (1∕λ)exp {- x∕λ}
    1. P[X < 5] = 05f(x)dx = 0.3935
    2. P[X > 15] = 15f(x)dx = 0.2231
    3. P[X > 25|X > 10] = P[X > 25 X > 10]∕P[X > 10] = P[X > 15] = 0.2231
      (esta solução usa a propriedade da falta de memória da distribuição exponencial)
    4. P[X < k] = 0.90 0kf(x)dx = 0.90 k = 23.0259

  4. (M. & L., 2005) Estudos meteorológicos indicam que a precipitação meteorológica mensal, em períodos de seca numa certa região, pode ser considerada como seguindo uma distribuição Normal de média 30 mm e variância 16 mm2.
    1. Qual a probabilidade de que em um mês a precipitação esteja entre 20 e 40 mm?
    2. Qual seria o valor da precipitação pluviométrica de modo que exista apenas 10% de chance de haver uma precipitação inferior e este valor?
    3. Construa um intervalo central em torno da média que contenha 80% dos possíveis valores de precipitação pluviométrica.
    4. Admitindo este modelo correto para os próximos 50 meses, em quantos deles esperaríamos uma precipitação pluviométrica superior a 34 mm?

    Solução:

    X   :  precipitação mensal
X   ~  N (μ = 30, σ2 = 16)
    1. P[20 < X < 40] = 0.9876
    2. P[X < k] = 0.10 k = 24.87
    3. P[μ - k < X < μ + k] = 0.80 k = 5.13 P[24.87 < X < 35.13] = 0.80
    4. 50 P[X > 34] 8

  5. Em uma sala com 70 estudantes do sexo masculino e 30 do sexo feminino o professor vai sortear 10 estudantes durante a aula para resolverem 10 testes rápidos. Qual a probabilidade de que sejam sorteados cinco estudantes de cada sexo caso:
    1. um estudante possa voltar a ser sorteado;
    2. um estudante sorteado para um teste não possa ser sorteado novamente.

    Solução:
    X: número de estudantes sorteados do sexo masculino

    1. X ~ Bin(n = 10,prob = 0.7)
      P[X = 5] = 0.1029
    2. X ~ HG(N = 100,n = 10,r = 10)
      P[X = 5] = 0.0996