CE-003: Estatística II, turma L

1a Prova - 2o semestre 2007 (04 Setembro de 2007)

  1. (07 pontos) Discos de plástico policarbonado de um fornecedor foram analisados quanto a resistência a riscos e a choques. Os resultados de 100 discos analisados são resumidos na tabela a seguir.


    resistência
    resistência a choques


    a riscos alta baixa



    alta 80 9
    baixa 6 5




    Denote por A o evento o disco tem alta resistência a riscos e por B o evento o disco tem alta resistência a choques.

    1. Obtenha: P[A], P[A B], P[Ac], P[Ac Bc], P[Ac B].
    2. Obtenha: P[AB], P[BA], P[ABc], P[BcA], P[BAc].
    3. Se um disco é selecionado ao acaso qual a probabilidade de ter:
      • alta resistência a choque e baixa a riscos?
      • alta resistência a riscos e baixa a choques?
    4. os eventos ter alta resistência a ambos atributos são mutuamente exclusivos? (justifique)
    5. os eventos ter alta resistência a ambos atributos são independentes? (justifique)

    Solução:


      > m <- matrix(c(80, 6, 9, 5), ncol = 2, dimnames = list(c("A", "A^c"),
      +     c("B", "B^c")))
      > m

           B B^c
      A   80   9
      A^c  6   5

      > mp <- prop.table(m)
      > mp

             B  B^c
      A   0.80 0.09
      A^c 0.06 0.05
      • P[A] =0.89
      • P[A B] =0.8
      • P[Ac] =0.11
      • P[Ac Bc] =0.05
      • P[Ac B] = P[Ac] + P[B] - P[Ac B] =0.91
      • P[AB] = P[AP∩[BB]]- =0.93
      • P[BA] = P[AP∩[AB]]- =0.9
      • P[ABc] =      c
PP[A∩[BBc]] =0.64
      • P[BcA] = P-[Bc∩A]
  P[A] =0.1
      • P[BAc] = P-[Ac∩B]
 P [Ac] =0.55
      • P[B Ac] =0.06
      • P[A Bc] =0.09
    1. Não, pois P[A B]⁄=0, isto é, os eventos ter alta resistência em ambos os atributos possuem intersecção, por isso não são mutuamente exclusivos. No contexto do exemplo, isto significa, por exemplo, que é possível ter resistência a ambos fatores ao mesmo tempo.
    2. P[A B]⁄=P[A].P[B], isto é, o produto das marginais difere dos valores observados, por isso sabemos que os eventos não são independentes. No contexto do exemplo, as chances de ter resistência a um fator para so casos de se ter ou não resistência ao outro fator.


        > addmargins(mp)


               B  B^c  Sum
        A   0.80 0.09 0.89
        A^c 0.06 0.05 0.11
        Sum 0.86 0.14 1.00


        > outer(rowSums(mp), colSums(mp), "*")


                 B    B^c
        A   0.7654 0.1246
        A^c 0.0946 0.0154
  2. (05 pontos) Estimativas de mercado indicam que um novo instrumento para análise de amostras de solo será pleno sucesso, sucesso moderado ou insucesso com probabilidades 0,3; 0,6 e 0,1; respectivamente. O retorno anual associado com cada um destes resultados é de 10 milhões, 5 milhões e 1 milhão, respectivamente. Seja X1 uma variável aleatória que denote o retorno anual do produto.
    1. determine a função de probabilidade e a função de probabilidade acumulada de X1
    2. qual o retorno anual esperado?
    3. considere agora a variável X2 o retorno em dois anos, considerados independentes onde cada ano pode ter um dos três resultados mencionados.
      • determine a função de probabilidade de X2
      • encontre o lucro esperado em dois anos

    Solução:

    1. Funções de probabilidade e acumulada:

        > x1 <- c(1, 5, 10)
        > px1 <- c(0.1, 0.6, 0.3)
        > names(px1) <- c(1, 5, 10)
        > Px1 <- t(as.matrix(px1))
        > rownames(Px1) <- "P[X1=x]"






      1 5 10




      P[X1=x]0.100.600.30





      Table 1: Distribuição de Probabilidade de X1


        > pax1 <- cumsum(px1)
        > pax1


          1   5  10
        0.1 0.7 1.0

      F(x) = (
|| 0, se x < 1
|{ 0.1, se 1 ≤ x < 5
|
||( 0.7, se 5 ≤ x < 10
  1, se x ≥ 10

    2. retorno anual esperado é da do pela esperança da v.a. X, E[X] = ixiP[X = xi] = 6.1:

        > as.vector(crossprod(x1, px1))


        [1] 6.1
      • X2 : retorno em 2 anos

          > x2 <- outer(x1, x1, "+")
          > px2 <- outer(px1, px1, "*")
          > px2[lower.tri(px2)] <- px2[lower.tri(px2)] + px2[t(upper.tri(px2))]
          > x2 <- unique(as.vector(x2))
          > px2 <- px2[lower.tri(px2, diag = T)]
          > names(px2) <- x2
          > Px2 <- t(as.matrix(px2))
          > rownames(Px2) <- "P[X2=x]"









        2 6 11 10 15 20







        P[X2=x]0.010.120.060.360.360.09








        Table 2: Distribuição de Probabilidade de X2

      • O valor esperado pode ser encontrado com o produto entre as probabilidades e os eventos possiveis.

          > as.vector(crossprod(x2, px2))


          [1] 12.2

        uma solução alternativa: como os eventos são independentes entre os dois anos, E[X2] = E[X1 + X1] = 2 E[X1] = 2 (6.1) = 12.2

  3. (06 pontos) Os telefones da central de reservas de uma companhia aérea estão ocupados 35% do tempo. Assuma que os eventos da linha estar ocupada em chamadas sucessivas são independentes e que 10 chamadas são efetuadas.
    1. Defina a variável aleatória em questão e a sua distribuição de probabilidades
    2. qual a probabilidade de que exatamente três chamadas estejam ocupadas?
    3. qual a probabilidade de que pelo menos duas chamadas não estejam ocupadas?
    4. qual o número esperado de chamadas nas quais todas as linhas estão ocupadas?

    Solução:

    1. variável aleatória:
      X : # de chamadas ocupadas X ~ Binomial(n = 10,p = 0.35)
    2. P[X = 3] pode ser calculada por:

        > dbinom(3, size = 10, prob = 0.35)


        [1] 0.2522196
    3. P[X~ 2] = P[X 8] pode ser calculada por uma das formas:

        > pbinom(1, size = 10, prob = 0.65, lower = F)


        [1] 0.9994601


        > pbinom(8, size = 10, prob = 0.35)


        [1] 0.9994601
    4. Em uma binomial o valor esperado é obtido por n p = 3.5
  4. (06 pontos) Suponha que uma variável aleatória X tem função de distribuição de probabilidade dada por fX(x) = e-(x-4) I(-∞,4)(x).
    1. mostre que fX(x) é uma função de densidade de probabilidade.
      Calcule:
    2. P[X > 1]
    3. P[2 X < 5]
    4. P[X < 15X > 8]
    5. x tal que P[X < x] = 0.80

    Solução:

    1. Para provar que a função é distribuição de probabilidade devemos integrar no intervalo e obter 1 e a função deve fornecer valores não negativos para todo x.

      A função conforme apresentada no enunciado não é uma f.d.p. pois -∞4f(x)dx = .

      Há duas possibilidades simples de modificar a função e obter uma f.d.p. válida.

      1. fX(x) = e(x-4) I(-∞,4)(x)

          > f <- function(x) ifelse(x < 4, exp(x - 4), 0)
          > integrate(f, -Inf, 4)


          1 with absolute error < 5.7e-05
      2. fX(x) = e-(x-4) I(4,)(x)

          > f <- function(x) ifelse(x > 4, exp(-(x - 4)), 0)
          > integrate(f, 4, Inf)


          1 with absolute error < 5.7e-05

      Em todos casos f(x) 0 pois a função exponencial só retorna valores positivos. No que se seque vamos considerar fX(x) = e-(x-4) I(4,)(x).

    2. P[X > 1] = P[X > 4] =

        > integrate(f, 1, Inf)


        1 with absolute error < 3.7e-06


        > integrate(f, 4, Inf)


        1 with absolute error < 5.7e-05
    3. P[2 X < 5]

        > integrate(f, 2, 5)


        0.6321206 with absolute error < 4.4e-05
    4. P[X < 15X > 8] = P[(X < 15) (X > 8)]∕P[X > 8] = P[8 < X < 15]∕P[X > 8]

        > integrate(f, 8, 15)$val/integrate(f, 8, Inf)$val


        [1] 0.9990883
    5. x tal que P[X < x] = 0.80:
      ∫ x -(x- 4)          -(x-4)      0
 4 e     dx  =   - e     - (- e) = 0.8
      -(x-4)
  loge       =   log0.2
          x  =   5.6094
      Nota: na notação acima "log" denota logarítmo neperiano.
  5. (06 pontos) A resistência de um papel é modelada por uma distribuição normal de média 35 libras por polegada quadrada (lb∕in2) e um desvio padrão de 2 lb∕in2.
    1. qual a probabilidade de que a resistência de uma amostra seja menor que 40 lb∕in2?
    2. qual o valor de resistência para o qual se espera que 75% das amostras apresentem resistência inferior a ele?
    3. se a especificação do material requer que a resistência seja superior a 33 lb∕in2, qual a proporção de amostras que espera-se descartar após inspeção?
    4. qual deveria ser a resistência média para que esta proporção fosse inferior a 5%?

    Solução:

    1. P[X < 40]

        > pnorm(40, m = 35, sd = 2)


        [1] 0.9937903
    2. P[X < x] = 0.75

        > qnorm(0.75, m = 35, sd = 2)


        [1] 36.34898
    3. basta verificarmos P[X < 33].

        > pnorm(33, m = 35, sd = 2)


        [1] 0.1586553
    4. Devemos descobrir um valor para média μ que satisfaça P[X < 33] = 0.05:
      P[Z < 33--μ-] =   P[Z < z0.05] = 0.05
        2
           μ  =   33 - 2⋅z0.05 = 33 - 2⋅(- 1.64) = 36.29