CE-003: Estatística II, turma A, Prova Final - 1o semestre 2009 (06/07/2009)


  1. (30 pts) Sob condições normais, um contador eletrônico de bactérias registra, em média, 4,5 bactérias por cm3 em amostras de um líquido. Faça suposições necessárias para calcular:
    1. a probabilidade de encontrar mais que seis bactérias em uma amostra;
    2. o desvio padrão do número de bactérias;
    3. a probabilidade de encontrar entre quatro e seis bacterias;
    4. a probabilidade de encontrar, em uma amostra de 10cm3, mais que 58 bactérias;

    Solução:

    X  ~ P oi(λ = 4,5bactrias∕cm3

    1. P[X > 6] = 1 - P[X 6] = 0.169
    2. sd(X) = ∘ --------
  V ar(X ) = √ --
  λ = 2.121
    3. P[4 X 6] = P[X 4] + P[X 5] + P[X 6] = 0.489
    4. X ~ Poi(λ = 45) N(μ = 452 = 45) (1)
      P(XPoi > 58) P(XN > 58.5) = 0.022 (2)
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  2. (40 pts) A fim de comparar o desempenho de dois grupos de estudantes, foi tomada uma amostra de 10 indivíduos de cada grupo que, submetidos a um teste, obtiveram os escores indicados a seguir.
       Grupo  I: 73  35  35  40  81  45  48  35  93  50  
       Grupo II: 75   5  55  50  50  30  75  65  90  50

    1. Faça uma análise descritiva utilizando gráficos para resumir os dados e discutir os resultados.
    2. Ainda na análise descritiva, obtenha medidas descritivas (medidas resumo) para os dados e discuta os resultados.
    3. Teste a hipótese de que os grupos possuem a mesma variabilidade.
    4. Teste a hipótese da igualdade da média dos grupos.

    Solução:

      > g1 <- c(73, 35, 35, 40, 81, 45, 48, 35, 93, 50)
      > g2 <- c(75, 5, 55, 50, 50, 30, 75, 65, 90, 50)
    1. Faça uma análise descritiva utilizando gráficos para resumir os dados e discutir os resultados.
        > boxplot(g1, g2)

      PIC

    2.   > res.f <- function(x) {
        +     res <- c(fivenum(x), mean(x), var(x), sd(x), 100 * sd(x)/mean(x))
        +     names(res) <- c("Min", "Q1", "Md", "Q3", "Max", "Média", "Variância",
        +         "Desv.Pad", "CV")
        +     return(round(res, dig = 1))
        + }
        > res.f(g1)

              Min        Q1        Md        Q3       Max     Média Variância  Desv.Pad
             35.0      35.0      46.5      73.0      93.0      53.5     446.7      21.1
               CV
             39.5

        > res.f(g2)

              Min        Q1        Md        Q3       Max     Média Variância  Desv.Pad
              5.0      50.0      52.5      75.0      90.0      54.5     591.4      24.3
               CV
             44.6
    3.   > var.test(g1, g2)

         F test to compare two variances
        
        data:  g1 and g2
        F = 0.7554, num df = 9, denom df = 9, p-value = 0.6828
        alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
        95 percent confidence interval:
         0.1876252 3.0411479
        sample estimates:
        ratio of variances
                 0.7553781
    4.   > t.test(g1, g2, var.equal = TRUE)

         Two Sample t-test
        
        data:  g1 and g2
        t = -0.0981, df = 18, p-value = 0.9229
        alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
        95 percent confidence interval:
         -22.40582  20.40582
        sample estimates:
        mean of x mean of y
             53.5      54.5
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  3. (30 pts) Defina dizendo como devem ser usados e interpretados os seguintes conceitos e/ou métodos estatísticos:
    1. coeficiente de correlação de Spearman
    2. coeficiente de contingência
    3. erro Tipo II
    4. nível de significância
    5. distribuição amostral
    6. valor-p