CE-003: Estatística II, turma A, 3a Prova - 1o semestre 2009 (24/06/2009)


  1. Em uma amostra aleatória simples com 200 edifícios com cinco anos, em certa cidade de grande porte, 55% apresentaram problemas estéticos relevantes após a entrega da obra.
    1. construir um intervalo de confiança (95%) para proporção de edifícios da cidade que apresentam problems estéticos nos cinco primeiros anos;
    2. qual a confiança do intervalo (52% --58%)?
    3. qual deveria ser o tamanho da amostra para que a confiança do intervalo do item anterior fosse de 90%?

    Solução: considerando ambos, IC assintótico e conservador

    1.   > pc <- 0.55
        > n = 200
        > pc + qnorm(c(0.025, 0.975)) * sqrt(pc * (1 - pc)/n)

        [1] 0.4810522 0.6189478

        > pc + qnorm(c(0.025, 0.975)) * sqrt(1/(4 * n))

        [1] 0.4807048 0.6192952

        > prop.test(110, 200)$conf

        [1] 0.4782703 0.6197775
        attr(,"conf.level")
        [1] 0.95
    2.   > m.err <- 0.03
        > z <- m.err/(sqrt(pc * (1 - pc)/n))
        > 1 - 2 * pnorm(z, lower = FALSE)

        [1] 0.6062314

        > z <- m.err/sqrt(1/(4 * n))
        > 1 - 2 * pnorm(z, lower = FALSE)

        [1] 0.6038561
    3. qual deveria ser o tamanho da amostra para que a confiança do intervalo do item anterior fosse de 90%?
        > ceiling(((qnorm(0.95)/0.03)^2) * (pc * (1 - pc)))

        [1] 745

        > ceiling(((qnorm(0.95)/0.03)^2)/4)

        [1] 752
    _____________________________________________________________________________________________
  2. O consumo de combustível é uma variável aleatória com parâmetros dependendo do tipo de veículo. Suponha que, para um certo automóvel, o desvio padrão do consumo seja conhecido e igual a 2 km∕l. Porém, precisamos de informações sobre o consumo médio. Para tal, coletamos uma amostra de 40 automóveis desse modelo e observamos seu consumo.
    1. Quem seria o estimador para o consumo médio de todos automóveis desse tipo?
    2. Se a amostra forneceu um consumo médio de 9,3 km∕l, construa um intervalo de confiança (95%) para média do consumo desses carros.
    3. Qual é a confiança se a amplitude de um intervalo de confiança, construído a partir dessa amostra é de 1,5?

    Solução:

    1. A média amostral X¯ ~ N(μ; 2240)
    2.   > 9.3 + qnorm(c(0.025, 0.975)) * 2/sqrt(40)

        [1] 8.680205 9.919795
    3.   > 1 - 2 * pnorm(sqrt(40) * (1.5/2)/2, lower = FALSE)

        [1] 0.982294
    _______________________________________________________________________________
  3. O tempo de permanência de engenheiros recém formados no 1o emprego, em anos, foi estudado considerando o modelo Normal com média e variâncias desconhecidas. Por analogia com outras categorias profisionais, deseja-se testar se a média é 2 anos contra a alternativa de ser 3 anos. Para uma amostra de 15 engenheiros, a média obtida foi de 2,7 anos e o desvio padrão amostral de 1,4 anos. Qual a conclusão ao nível de 1% ?

    Solução:

      > tc0 <- (2.7 - 2)/(1.4/sqrt(15))
      > err1 <- pt(tc0, df = 14, lower = F)
      > err1
      [1] 0.03662922
      > tca <- (2.7 - 3)/(1.4/sqrt(15))
      > err2 <- pt(tca, df = 14)
      > err2
      [1] 0.2102541
    _______________________________________________________________________________________________________
  4. A experiência mostra que a taxa de complicações, associada a um determinado procedimento cirúrgico, é de 0,20. Com o objetivo de reduzir essa taxa, um pesquisador desenvolveu um novo procedimento e o aplicou a uma amostra de pacientes.
    1. Se ele usar a nova técnica em 100 pacientes, qual deveria ser a taxa limite para que conclua que a nova técnica é melhor que a anterior? (use α = 0, 05)
    2. Se a verdadeira taxa de complicações associada à nova técnica for 0,08; qual é a probabilidade de que, em uma amostra de tamanho 100, ele não consiga rejeitar a hipótese nula?

    Solução:

    1.   > p.crit <- optimize(function(p) {
        +     (((p - 0.2)/sqrt((p * (1 - p))/100)) - qnorm(0.05))^2
        + }, c(0, 1))$min
        > p.crit

        [1] 0.1425197
    2.   > pnorm(p.crit, m = 0.08, sd = sqrt((0.08 * 0.92)/100), lower = FALSE)

        [1] 0.01059708