CE-003: Estatística II, turma O, 2a Prova - 1o semestre 2009 (20/05/2009)


  1. (1,0 pt) Considera-se que em uma epidemia de gripe 60% das pessoas se infectam com o vírus. Uma vacina é eficiente para 80% dos indivíduos expostos a uma epidemia. Uma pessoa não vacinada tem 90% de chance de ter gripe. Duas pessoas, uma vacinada e outra não viajam separadamente para uma região epidêmica, sem ter contato com as mesmas pessoas ou se encontrarem. Qual a probabilidade de que ao menos uma delas tenha a gripe?

    Solução:

    P(I) = 0, 60 ; P(G¯|V ) = 0, 8 ; P(G|¯V) = 0.90
    P(ao menos 1 com gripe) = P1(I G|V ) + P2(I G| ¯
V) - P1(I G|V ) P2(I G| ¯
V) =
    = 0, 6 0, 2 + 0, 6 0, 9 - (0, 6 0, 2) (0, 6 0, 9) = 0.5952
  2. (2,0 pt) O taxa de mortes por afogamento em finais de semana numa cidade praiana é de 2,5 para cada 100.000 habitantes. Faça as suposições necessárias e encontre a probabilidade de que ocorram quatro ou mais afogamentos em um determinando final de semana para o qual estima-se uma população de 350.000 habitantes.

    Solução:

    X : número de afogamentos para 350.000 habitantes
    XB = B(n = 350.000,p = 2, 5100.000)
    XP P(λ = n p = 8.75)
    P[X 4] = 1 - P[X 3] = 0.975
  3. (2,5 pt) Suponha que em um determinado país estudos demográficos mostrem que em famílias constituídas o tempo (em anos) para concepção do primeiro filho, após o casamento, tem distribuição exponencial com parâmetro 0,35.
    1. Qual a probabilidade de uma família ter um filho(a) no primeiro ano de casamento?
    2. Qual a probabilidade de uma família ter um filho(a) apenas 5 anos após o casamento?
    3. Qual o tempo em anos até o qual espera-se que 80% das famílias tenham tido o primeiro filho(a)?
    4. Em quanto tempo espera-se que um novo casal tenha o seu primeiro filho(a)?
    5. Em quanto tempo espera-se que 50% das famílias tenham tido filho(a)?

    Solução:

    T ~ Exp(λ = 0, 35)
    f(t) = 0, 35e-0,35tI (0,(t)
    1. P[T < 1] = 01f(t)dt = 0.295
    2. P[T > 5] = 5f(t)dt = 0.174
    3. 0tf(t)dt = 0, 8=⇒t = 4.6 anos
    4. E[T] = 1∕λ = 10, 35 = 2.86 anos
    5. mediana: 0tf(t)dt = 0, 5=⇒t = 1.98 anos
  4. (2,0 pt) Suponha que o comprimento de camarões da espécie Litopenaeus schmitti tem, em condições normais para comercialização, uma média de 6,0 cm e desvio padrão de 0,5 cm. Camarões abaixo de 5 cm são comercializados ao valor de 1 unidade monetária (u.m.). Entre 5 e 7,25 cm são comercializados ao valor de 1,5 u.m. e acima de 7,25 cm ao valor de 3 u.m.. Qual o valor que se espera obter na venda de 50,000 indivíduos?

    Solução:

    X ~ N(μ = 6; σ2 = (0, 5)2)
    Y : Valor de venda
    E(Y ) = 1 P[Y = 1] + 1, 5 P[Y = 1, 5] + 3 * P[Y = 3] =
    = 1 P[X 5] + 1, 5 P[5 < X 7, 5] + 3 P[X > 7, 25] =
    = 1 0.0228 + 1.5 0.976 + 3 0.00135 =
    = 1.49
    Para 50.000 ind. : 74532
  5. (2,5 pt) Um servidor registra conexões segundo um processo de Poisson com média de 3,5 conexões por minuto.
    1. Qual a probabilidade não receber conexões em um período de 1 minuto?
    2. Qual a probabilidade receber alguma conexão em um período de 2 minutos?
    3. Qual o tempo esperado entre conexões?
    4. A partir de um certo instante, qual o tempo para que, com probabilidade de 0,9, ocorra uma conexão?
    5. Qual o tempo que deve-se esperar até a 10a conexão?

    Solução:

    X ~ Poisson(λ = 3, 5 conexões/min)
    1. P[X = 0] = e-3,5(3,5)0
   0! = e-3,5 = 0.0302
    2. Xb ~ P(λ = 7 conexões/(2 min))
      P[Xb 1] = 1 - P[Xb = 0] = 1 - e-7 = 1
    3. Se o número de conexões tem distribuição de Poisson, o tempo entre conexões tem distribuição exponencial pois:
      T : tempo entre conexões
      Xt ~ P(δt λ)
      P[T > t] = P[Xt = 0] = e-λ=⇒P[T t] = F(t) = 1 - e-λ= ⇒f(t) = λe-λt
      E[T] = 1∕λ = 13, 5 = 0.286 min = 17.1 seg
    4. P[T < t] = 0, 9=⇒ 0tf(t)dt = 0, 9= ⇒t = 0.658 min = 39.5 seg
    5. T10 : tempo até a 10 conexão
      T10 ~ Erlang(r = 10= 3, 5)
      E[T10] = r∕λ = 103, 5 = 2.86min = 171.43seg