CE-003: Estatística II, turma A, 2a Prova - 1o semestre 2009 (20/05/2009)


  1. Uma amostra de água é considerada como contaminada se forem encontrados bacilos do tipo A ou então, se forem encontrados bacilos dos tipos B e C conjuntamente. De coletas anteriores sabe-se que bacilos dos tipos A, B e C estão presentes em 30, 20 e 80% das amostras, respectivamente. Sabe-se ainda que na presença de bacilos do tipo A, não existem bacilos do tipo B. Quando existem bacilos do tipo B, a chance de encontrar bacilos do tipo C cai pela metade. Encontre:
    1. a probabilidade de uma amostra conter ao menos um dos bacilos dos tipos B ou C;
    2. a probabilidade de uma amostra ser classificada como contaminada;
    3. sendo uma amostra contaminada, a probabilidade da contaminação ser (i) pelo bacilo A, (ii) pelos bacilos B e C

    Solução:

    P(A) = 0, 30 ; P(B) = 0, 20 ; P(C) = 0, 80
    P(contaminada) = P(AU(B C))
    P(B|A) = 0 P(C|B) = P(C)2 = 0, 40
    1. P(B C) = P(B) + P(C) - P(B C) = P(B) + P(C) - P(C|B) P(B) = = 0, 20 + 0, 80 - 0, 4 0, 20 = 0.92
    2. P(contaminada) = P(A (B C)) = P(A) + P(B C)) - P(A (B C)) = = 0, 30 + 0, 08 - 0, 00 = 0.38
      1. P(A|contanimada) = P(A contaminada)∕P(contaminada) = = P(A (A (B C)))∕P(contaminada) = P(A)∕P(contaminada) = 0, 300, 38 = 0.79
      2. P((B C)|contaminada) = P((B C) contaminada)∕P(contaminada) = = P((BC)(A(BC)))∕P(contaminada) = P(BC)∕P(contaminada) = 0, 080, 38 = 0.21
  2. Suponha que um programa de acompanhamento de populações registre uma média de 15 mortes de golfinhos por ano na região da baia de Guaraqueçaba. Fazendo as suposições necessárias encontre:
    1. a probabilidade de que se registre ao menos duas mortes em um determinado mês;
    2. a probabilidade de que se registre menos de cinco mortes no primeiro semestre do próximo ano.

    Solução:

    X ~ Poisson(λ = 15 mortes∕ano)
    1. X ~ P(λ = 1512 = 1, 25 mortes∕mes)
      P(X 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 0.355
    2. X ~ P(λ = 152 = 7, 5 mortes∕semestre)
      P(X < 5) = P(X 4) = 0.132
  3. Registros mostram que em uma determinada região ocorrem em média 2,5 geadas por ano. Encontre a probabilidades de que ocorram:
    1. no máximo 3 geadas no próximo ano;
    2. ao menos 3 geadas nos próximos 2 anos.

    Solução:

    X1 ~ Poisson(λ = 2.5 geadas∕ano) X2 ~ Poisson(λ = 5 geadas∕(2anos))
    1. P(X 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.758
    2. P(X 3) = 1 -(P(X  = 0) + P (X =  1) + P (X = 2)) = 0.875
  4. Dados históricos mostram que, em média, 5 dos 30 dias do mês de novembro são chuvosos em uma certa cidade. Faça e descreva suposições adequadas para calcular as probabilidades de que:
    1. não chova em nenhum dia do próximo mês de novembro;
    2. ocorra chuva em mais dias do que a média histórica.

    Solução:

    X ~ Bin(n = 30,p = 530)
    1. P[X = 0] = (  )
 300(530)0(2530)30 = 0.00421
    2. P[X > E(X)] = P[X > n p] = P[X > 5] = 1 - P[X 5] = 0.384
  5. Conchas de mexilhões de uma certa espécie possuem, em uma certa região, possuem uma relação altura/comprimento com distribuição normal de média 0,5 e desvio padrão de 0,025. Os animais serão classificados de modo que 20% sejam considerados pequenos, 50% como médios e os restantes 30% como grandes. Quais os valores da relação altura/comprimento que definirão as classes de tamanho desejadas?

    Solução:

    X ~ N(μ = 0, 5 ; σ2 = (0, 025)2)
    P(X < x1) = 0, 20=⇒P(Z < x1---0,5-
 0,025) = 0, 20= ⇒z1 = -0.842= ⇒x1 = μ + z1 σ = 0, 5 + (-0.842) 0.025 = 0.479
    P(x1 < X < x2) = 0, 50=⇒P(X < x1) = 0, 20=⇒P(Z < x2 - 0,5
---------
  0,025) = 0, 70=⇒z2 = 0.524=⇒x2 = μ + z2 σ = 0, 5 + 0.524 0.025 = 0.513