CE-003: Estatística II, turma L

Prova Final - 2o semestre 2007 (11 de dezembro de 2007)

  1. (12 pontos) Devido ao fato de que nem todos passageiros comparecem para o embarque, uma companhia aérea vende 125 bilhetes para um vôo com capacidade para apenas 120 passageiros num procedimento conhecido como overbooking. Neste vôo, a probabilidade de que um passageiro não compareça é de 0,08 e o comparecimento ou não é independente entre os passageiros.
    1. qual a probabilidade de que cada passageiro que apareça possa embarcar?
    2. qual a probabilidade de que o vôo parta com ao menos um assento vazio?

    Resposta:

    X  : número de passageiros com  bilhete que não comparecem
    X  ~ B(125  ; 0,08) ou X ≈  N (n.p = 10;n.p.(1 - p) = 9.2)

    (a) P[X 5] = 0.968

    (b) P[X 6] = 0.925

  2. (18 pontos) A probabilidade de que um servidor atenda a uma requisição em menos de 5 segundos é de 0,75. Assuma que as requisições são independentes.
    1. Se 10 requisições são feitas, qual a probabilidade de que exatamente 9 sejam respondidas dentro dos 5 segundos?
    2. Se 20 requisições são feitas, qual a probabilidade de que pelo menos 16 sejam respondidas dentro dos 5 segundos?
    3. Se 20 requisições são feitas, qual o número médio de chamadas que serão respondidas em menos do que 5 segundos?

    Resposta:

    X : número  de requisições atendidas em  menos de 5 segundos

    (a) X ~ B(10 ; 0, 75)
    P[X = 9] = 0.188

    (b) X ~ B(20 ; 0, 75)
    P[X 16] = P[X = 16] + P[X = 17] + + P[X = 20] = 0.415

    (c) X ~ B(20 ; 0, 75)
    E[X] = n.p = 20(0.75) = 15

  3. (18 pontos) Considere a função f(x) = k(1 + 2x) 0 < x < 4
    1. para que valor de k a função é de densidade de probabilidade?
    2. Calcule P[X > 1, 5]
    3. Calcule P[2, 2 < X 3, 6]

    Resposta:
    (a) 04f(x)dx = 1 = ⇒ k = 0.05

    (b) P[X > 1, 5] = 1,54f(x)dx = 0.813

    (c) P[2, 2 < X 3, 6] = 2,23,6f(x)dx = 0.476

  4. (18 pontos) O diâmetro de um ponto produzido por uma impressora tem distribuição normal com diâmetro médio de 0,002 polegadas e desvio padrão de 0,0004 polegadas.
    1. qual a probabilidade de que o diâmetro de um ponto exceda 0,0026 polegadas?
    2. qual a probabilidade de que o diâmetro esteja entre 0,0014 e 0,0026 polegadas?
    3. qual o valor necessário do desvio padrão do diâmetro para que a probabilidade no item anterior seja de 0,995?

    Resposta:

    X  ~ N (0,002; 0.0004)
    (a) P[X > 0, 0026] = 0.067

    (b) P[0, 0014 < X < 0, 0026] = 0.866

    (c) s = (0.0026-0.002)
   z0.9975 = 0.00021

  5. (10 pontos) Um produtor de certo componente eletrônico está interessado em estimar a fração de itens defeituosos produzidos. Uma amostra aleatória de 800 unidades apresentou 40 defeituosos. Obtenha um intervalo de confiança (99%) para a proporção de defeituosos.

    Resposta:


      > prop.test(40, 800, conf.level = 0.99, corr = F)$conf

      [1] 0.03359155 0.07381131
      attr(,"conf.level")
      [1] 0.99
  6. (24 pontos) Dois tipos de plástico, I e II são adequados para uso na produção de certo componente eletrônico. A tensão de ruptura do material é uma característica importante. Sabe-se que σI = σII = 1 psi. Uma amostra aleatória com nI = 10 e nII = 12 fornece xˉI = 162, 5 e ˉxII = 155, 0. Por razões de custo, a companhia não irá adotar o plástico I a menos que este tenha uma resistência média que exceda a do plástico II em pelo menos 10 psi. Proceda um teste de hipótese adequado para saber se, baseando-se nas informações da amostra, a companhia deve adotar o plástico I (use α = 0, 05).

    Resposta: