CE-003: Estatística II - Turma: K/O, 1a Prova (08/10/2017)

GRR: _____________________ Nome: __________________________________________________________ Turma: ___________

1.
(1,5) A probabilidade de haver algum acidente considerado grave em um dia, em um trecho de uma rodovia é de 0,04 se não chove e de 0,12 se chove. Sabe-se que, no período considerado, chove em 30% dos dias.
(a)
Se em um determinado dia não houve nenhum acidente, qual a probabilidade que não tenha chovido?
(b)
qual a probabilidade de que, chovendo ou não, haja acidente?

Solução:
Eventos e probabilidades informadas:

A : ocorre acidenteA : não ocorre acidente
C : choveC : não chove
P[A|C] = 0,04−→P[A|C] = 1 0,04 = 0,96
P[A|C] = 0,12−→P[A|C] = 1 0,12 = 0,88
P[C] = 0,30−→P[C] = 1 0,30 = 0,70
Probabilidades pedidas:
(a)
P[C|A] =   ----
P[PC[∩AA]] =      ----
P-[C∩PA[C]∩+AP[]C∩A] =        -- ----
P[C]⋅PP[[AC|C]⋅]P+[AP[|CC]]⋅P[A|C] = 0.70⋅00,,7906+⋅00,9,630⋅0,88 = 0,718
(b)
P[A] = P[A C] + P[A C] = P[C] P[A|C] + P[C] P[A|C] = 0,30 0,12 + 0,70 0,04 = 0,064

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2. (2,5) Seja a função:

      {
        3x2∕8  0 < x ≤ 2
f(x) =  0      caso contrário

(a)
Mostre que f(x) é uma função de densidade de probabilidade válida.
(b)
Obtenha P[0,5 < X < 1,5].
(c)
Obtenha P[X > 1,2].
(d)
Obtenha P[X > 1,2|X > 0,5].
(e)
Obtenha o valor esperado de X.

Solução:

(a)
Mostrar que: f(x) 0x e 02f(x)dx = 1
3
823-−-03
  3 = 1
a função acumulada F(x) é dada por:
F(x) = 0xf(x)dx = 3
8x3 − 03
---3--- =  x3
 -8
(b)
P[0,5 < X < 1,5] = 0,51,5f(x)dx = F(1,5) F(0,5) = 0,406
(c)
P[X > 1,2] = 1,22f(x)dx = 1 F(1,2) = 0,784
(d)
P[X > 1,2|X > 0,5] = ∫∫21,20,25ff(x(x))ddxx = 1−1−-FF(1(0,2,5))- = 0,796
(e)
       ∫ 2           3 24 − 04  3
E [X ] =   x ⋅f(x )dx = - ------=  -= 1,5
        0            8   4      2


PIC
Figura 1: Função de densidade de probabilidade (esquerda) e função de distribuição (direita).


Soluções computacionais (linguagem R):

  > require(MASS)
  > ## a)
  > fx <- function(x) ifelse(x > 0 & x <= 2, (3*x^2)/8, 0)
  > integrate(fx, 0, 2)$value

  [1] 1

  > Fx <- function(x) ifelse(x>0, ifelse(x<=2, (x^3)/8,1), 0)
  > Fx(2)

  [1] 1

  > ## b)
  > integrate(fx, 0.5, 1.5)$value

  [1] 0,4062

  > Fx(1.5)-Fx(0.5)

  [1] 0,4062

  > ##c)
  > integrate(fx, 1.2, 2)$value

  [1] 0,784

  > 1-Fx(1.2)

  [1] 0,784

  > ## d)
  > integrate(fx, 1.2, 2)$value/integrate(fx, 0.5, 2)$value

  [1] 0,7964

  > (1-Fx(1.2))/(1-Fx(0.5))

  [1] 0,7964

  > ## e)
  > efx <- function(x) ifelse(x > 0 & x <= 2, x*(3*x^2)/8, 0)
  > integrate(efx, 0, 2)$value

  [1] 1,5

______________________________________________________________________________________________________ 3. (3,0) Um indivíduo vai participar de uma competição que consiste em responder questões que são lhe são apresentadas sequencialmente. Com o nível de conhecimento que possui, a chance de acertar uma questão escolhida ao acaso é de 75% . Neste contexto, para cada diferente situação apresentada a seguir, defina a variável aleatória, sua distribuição de probabilidades e calcule a probabilidade solicitada. Se preciso, faça suposições necessárias e adequadas em cada caso.

(a)
Se for responder até errar uma pergunta, qual a probabilidade de conseguir acertar quatro ou mais questões?
(b)
Se for responder cinco perguntas, qual a probabilidade de acertar quatro ou mais?
(c)
Se for responder até acertar a terceira pergunta, qual a probabilidade de errar apenas uma?
(d)
Se o candidato selecionar aleatoriamente seis questões de um banco de 40 questões das quais o candidato sabe a resposta de 30 delas (75%), qual a probabilidade de acertar ao menos cinco delas.

Ainda neste contexto considere que o candidato responde, em média, 1,8 questões por minuto.

(e)
Qual a probabilidade de conseguir responder ao menos três questões em três minutos?
(f)
Qual a probabilidade de que o tempo para resposta de uma questão seja superior a 40 segundos?

Solução:

(a)
X : Número de acertos até o primeiro erro
X G(0,25)
P[X 4] = 1 P[X 3] = 1 i=03(1 0,25)i(0,25) = 0,316
(b)
X : Número de acertos em cinco perguntas
X B(n = 5,p = 0,75)
P[X 4] = P[X = 4] + P[X = 5] = i=45(5)

  i0,75i(1 0,75)5i = 0,633
(c)
X : Número de erros até o terceiro acerto
X BN(r = 3,p = 0,75)
P[X = 1] = (       )
 3+ 1 − 1
   3− 10,753(1 0,75)1 = 0,316
(d)
X : Número de acertos nas seis questões selecionadas
X HG(30,10,6)
P[X 5] = P[X = 5] + P[X = 6] = i=56(30)(10 )
--i(460−)i-
    6 = 0,526
(e)
X : Número de questões respondidas em 3 minutos
X P(3 1,8 = 5,4)
P[X 3] = 1 P[X 2] = 1 i=02e−5,45,4i
----i!--- = 0,905
(f)
X : tempo (em min.) para responder uma questão
X Exp(λ = 1,8)
P[X 4060] = 40601,8e1,8xdx = 0,301

Soluções computacionais com o programa R:

  > (pa <- pgeom(3,p=0.25, lower=F))

  [1] 0,3164

  > (pb <- pbinom(3, size=5, prob=0.75, lower=F))

  [1] 0,6328

  > (pc <- dnbinom(1, size=3, prob=0.75))

  [1] 0,3164

  > (pd <- phyper(4, m=30, n=10, k=6, lower=F))

  [1] 0,526

  > (pe <- ppois(2, lam=5.4, lower=F))

  [1] 0,9052

  > (pf <- pexp(40/60, rate=1.8, lower=F))

  [1] 0,3012

______________________________________________________________________________________________________ 4. (3,0) Seja uma v.a. X com distribuição normal de média μ = 250 e variância σ2 = 225. Obtenha:

(a)
P[X > 270].
(b)
P[X < 220].
(c)
P[|X μ| > 25].
(d)
P[|X μ| < 30].
(e)
P[X < 270|X > 250].
(f)
o valor x1 tal que P[X > x1] = 0,80.
(g)
o valor x2 tal que P[X < x2] = 0,95.
(h)
qual deveria ser um novo valor da média μ para que P[X < 240] 0,10 ?
(i)
com μ = 250 qual deveria ser um novo valor da variância σ2 para que P[X < 240] 0,10 ?
(j)
qual deveria ser um novo valor da variância σ2 para que P[|X μ| > 15] 0,10 ?

Solução:

X ∼ N (250,152)

(a)
P[X > 270] = P[Z > 270−250
  15] = P[Z > 1,3333] = 0,0912
(b)
P[X < 220] = P[Z < 220−12550] = P[Z < 2] = 0,0228
(c)
P[|X μ| > 25] = P[X < 225 X > 275] = P[Z < 1,667] + P[Z > 1,667] = 0,0956
(d)
P[|X μ| < 30] = P[220 < X < 280] = P[2 < Z < 2] = 0,9545
(e)
P[X < 270|X > 250] = P[2P50[<XX>2<520]70] = 0,4008,58- = 0,8176
(f)
z = x1−15250- = 0,842−→x1 = 237,4
(g)
z = x2−15250- = 1,645−→x2 = 274,7
(h)
z = 240−μ-
 15 = 1,282−→μ = 259,2
(i)
z = 240−σ250 = 1,282−→σ = 7,8−→σ2 = 60,8
(j)
P[|X < μ| > 15] = P[X < μ 15 X > μ + 15] 0,10−→z = 15
 σ = 1,645−→σ = 9,1−→σ2 = 83,1

Comandos em R para soluções:

  > (qa <- pnorm(270, mean=250, sd=15, lower=FALSE))

  [1] 0,09121

  > (qb <- pnorm(220, mean=250, sd=15))

  [1] 0,02275

  > (qc <- 2*pnorm(250-25, mean=250, sd=15))

  [1] 0,09558

  > (qd <- diff(pnorm(c(250-30,250+30), mean=250, sd=15)))

  [1] 0,9545

  > (qe <- diff(pnorm(c(250,270), mean=250, sd=15))/pnorm(250, mean=250, sd=15, lower=FALSE))

  [1] 0,8176

  > (qf <- qnorm(0.80, mean=250, sd=15, lower=FALSE))

  [1] 237,4

  > (qg <- qnorm(0.95, mean=250, sd=15))

  [1] 274,7

  > (qh <- 240 - 15 * round(qnorm(0.10), dig=3))

  [1] 259,2

  > (qi <- (240 - 250)/round(qnorm(0.10), dig=3))

  [1] 7,8

  > (qj <- 15/round(qnorm(0.95), dig=3))

  [1] 9,119

______________________________________________________________________________________________________