CE-003: Estatística II - Turma: K/O, 1a Prova (17/10/2016)

GRR: _____________________ Nome: __________________________________________________________ Turma: ___________

1.
A probabilidade de haver algum acidente considerado grave em um dia, em um trecho de uma rodovia é de 0,04 se não chove e de 0,12 se chove. Sabe-se que, no período considerado, chove em 30% dos dias.
(a)
Se em um determinado dia não houve nenhum acidente, qual a probabilidade que não tenha chovido?
(b)
qual a probabilidade de que, chovendo ou não, haja acidente?

Solução:
Eventos e probabilidades informadas:

A : ocorre acidenteA : não ocorre acidente
C : choveC : não chove
P[A|C] = 0,04-→P[A|C] = 1 - 0,04 = 0,96
P[A|C] = 0,12-→P[A|C] = 1 - 0,12 = 0,88
P[C] = 0,30-→P[C] = 1 - 0,30 = 0,70
Probabilidades pedidas:
(a)
P[C|A] =   ----
P[PC[∩AA]] =      ----
P-[C∩PA[C]∩+AP[]C∩A] =        -- ----
P[C]⋅PP[[AC|C]⋅]P+[AP[|CC]]⋅P[A|C] = 0.70⋅00,,7906+⋅00,9,630⋅0,88 = 0,718
(b)
P[A] = P[A C] + P[A C] = P[C] P[A|C] + P[C] P[A|C] = 0,30 0,12 + 0,70 0,04 = 0,064

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2. Ainda no contexto da questão anterior:

(a)
qual distribuição poderia ser usada para descrever o tempo entre acidentes graves?
(b)
qual a probabilidade de se passarem 10 dias sem acidentes graves?
(c)
qual o tempo médio entre acidentes graves?
(d)
se não houve acidentes por um período de 5 dias consecutivos, qual a probabilidade de haver um acidente nos próximos 10 dias?

Solução:
Supondo que os acidentes são eventos independentes pode-se considerar que ocorrem segundo um Processo de Poisson.
Desta forma, a probabilidade de ocorrer acidente em um dia P(A) = 0,064 corresponde ao número médio de acidentes por dia.
Pode-se então usar a relação entre a distribuição Poisson (do número de acidentes em um dia) e a exponencial (do intervalo de tempo entre acidentes).

(a)
X : Numero de acidentes por dia
X ~ P(λ = 0,064)
T : Tempo (em dias) entre acidentes
T ~ Exp(λ = 0,064)
f(t) = λexp{-λt} = exp{-0,064t}
F(t) = 1 - exp{-λt} = 1 - exp{-0,064t}
(b)
P[T > 10] = 1 - F(10) = 0,527
(c)
E[T] = 1
λ = 10,064 = 15,62 dias
(d)
P[T < 15|T > 5] = P[T < 10] = 0,473

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3. Seja a função de densidade de probabilidade dada por f(x) = Cx2I[0,4](x). Obtenha:

(a)
o valor de C,
(b)
P[X > 0,5],
(c)
P[X > 0,7|X > 0,5],
(d)
E(X),
(e)
o terceiro quartil.

Solução:

                          ∫ x         C
f(x) = Cx2I[0,4](x) -→ F(x) =   f(x )dx = --x3I[0,4](x)
                           0          3

(a)
04f(x)dx = 1-→C = 364
(b)
P[X > 0,5] = 1 - F(0,5) = 0,998
(c)
P[X > 0,7|X > 0,5] = 1-F(0,7)
1-F(0,5) = 0,997
(d)
E(X) = 04x f(x)dx = = 3
(e)
q3 : 0q3f(x)dx = 0,75-→q3 = (64 0,75)13 = 3,63

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4. Um grande número de alunos faz uma prova visando avaliar a sua formação e a partir da qual é atribuído a cada um deles um escore de proficiência (EP). Os resultados mostram que os EP’s podem ser descritos por uma distribuição normal de média 300 e variância 400.

(a)
Qual a percentagem de alunos com escores acima de 320?
(b)
Qual a percentagem de pessoas com escores entre 250 e 350?
(c)
Qual a percentagem de pessoas com escores que não se afastem da média mais do que 50?
(d)
Qual valor deve ter 15% dos escores abaixo dele?
(e)
Deseja-se dividir os escores em três grupos (alto, médio e baixo) com a mesma proporção de alunos. Quais os valores de corte que dividem as categorias/grupos?
(f)
Mantendo-se a mesma média, quanto deveria ser o desvio padrão para que se tenha não mais que 10% dos escores abaixo de 270?
(g)
Mantida a variância de 400 quanto deveria ser o escore médio para que se tenha não mais que 10% dos escores abaixo de 270?

X : escores no exame e proficiência
X ~ N(400,452)
(a)
P[X > 320] = P[Z > 320-23000] = P[Z > 1] = 0,1587-→15,87%
(b)
P[250 < X < 350] = P[250--300
  20 < Z < 350-300
  20] = P[-2,5 < Z < 2,5] = 0,9876-→98,76%
(c)
P[|X - 300| < 50] = P[250 < X < 350] = P[250-300
--20--- < Z < 250-300
--20--] = P[2,5 < Z < 2,5] = 0,9876-→98,76%
(d)
P[X < a] = 0,15-→z = -1,04 = a-23000--→a = 279,3
(e)
P[X < x1] = 13-→z = -0,431 = x1 - 300
---20----→x1 = 291,4
P[X < x2] = 23-→z = 0,431 = x2 - 300
--20-----→x2 = 308,6
(f)
P[X < 270|μ = 300] = 0,10-→z = -1,28 = 270-300
  σ-→σ = 23,4
(g)
P[X < 270|μ,σ = 20] = 0,10-→z = -1,28 = 2702-0μ--→μ = 295,6

Solução computacional com o programa R:

  > (ita <- round(pnorm(320, 300, 20, low=F),dig=4))

  [1] 0,1587

  > (itb <- round(diff(pnorm(c(250, 350), 300, 20)),dig=4))

  [1] 0,9876

  > (itc <- round(diff(pnorm(c(250, 350), 300, 20)),dig=4))

  [1] 0,9876

  > (itd <- round(qnorm(0.15, 300, 20), dig=1))

  [1] 279,3

  > (ite <- round(qnorm(c(1/3,2/3), 300, 20), dig=1))

  [1] 291,4 308,6

  > (itf <- round((270-300)/qnorm(0.10), dig=1))

  [1] 23,4

  > (itg <- round(270-qnorm(0.10)*20, dig=1))

  [1] 295,6

______________________________________________________________________________________________________ 5. Assume-se que o tempo entre acessos a um blog tem uma distribuição com média de 1,5 segundos. Assumindo alguma distribuição responda os itens a seguir.

(a)
Qual a probabilidade de haver duas conexões com intervalo inferior a 1,5 segundos?
(b)
Qual a probabilidade de se passarem 5 segundos sem conexão alguma?
(c)
Tendo havido uma conexão, qual a probabilidade da próxima conexão ocorrer entre 0,5 e 2,5 segundos?
(d)
Se já se passou 1 segundo sem conexão, qual a probabilidade de se passar mais 0,5 segundos adicionais sem conexão?
(e)
Qual a probabilidade do intervalo entre conexões não superar 3,5 segundos se já se passaram 2 segundos sem conexão?

Solução:
Não se especificou a distribuição e vamos assumir a distribuição exponencial considerando: (i) que devem ser valores positivos, (ii) pela possibilidade de cálculos com as informações fornecidas.

X : intervalo de tempo entre conexões (segundos)
X ~ Exp(λ = 11,5 = 23)
f(x) = 2
3e-2x∕3I (0,)(x) F(x) = 1 - e-2x∕3
(a)
P[X < 1,5] = 01,5f(x)dx = F(1,5) = 0,63
(b)
P[X > 5] = 5f(x)dx = 1 - F(5) = 0,036
(c)
P[X < 0,5] = 0,52,5f(x)dx = F(2,5) - F(0,5) = 0,53
(d)
P[X > 1,5|X > 1] = ∫∞ f(x)dx
∫1∞1,5f(x)dx = 1 P[X > 0,5] = 1 - F(0,5) = 0,72
(e)
P[X < 3,5|X > 2] = ∫32,5f(x)dx
∫32,5f(x)dx = F(3,5)--F(2)
  1-F(2) = 1P[X < 1,5] = F(1,5) = 0,63

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 6. (Bônus) Um professor preparou 40 versões diferentes de uma lista de exercícios. As listas são atribuídas ao acaso para estudantes sorteando-se para cada um um número de 1 a 40 que identifica a lista. Se um grupo de três colegas decide fazer as listas juntos, que a probabilidade de que ao menos dois deles recebam a mesma versão?

Solução:

Espaço Amostral: S todas possíveis atribuições de 40 listas para 3 estudantes
n(S) = 40 40 40
Evento: E coincidência de lista em ao menos 2 estudantes
E sem coincidência de listas
n(E) = 40 39 38
P[E] = 1 - P[E] = 1 -  --
n(E-)
n(S) = 1 -40⋅39⋅38-
  403 = 0,0737.
Nota: este exercício é semelhante ao problema da coincidência de aniversários em um grupo de pessoas.

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