CE-003: Estatística II - Turma: K/O, 1a Prova (11/11/2015)

GRR: ______________________ Nome: _____________________________________________________________ Turma: ________________________________________________________________

1.
(25 pts) Três algorítmos serão usados para tentar resolver um problema e cada um deles pode ou não conseguir resolver. A chance de conseguir uma solução com o primeiro é de 60%, 45% com o segundo e 30% com o terceiro. Neste contexto responda às questões a seguir, fazendo suposições se necessário.
(a)
Por que este pode ser considerado um experimento aleatório?
(b)
Qual o espaço amostral?
(c)
Qual a probabilidade de que todos resolvam o problema?
(d)
Qual a probabilidade de que o problema seja resolvido?
(e)
Foi necessária alguma suposição para para resolver os items anteriores? Se positivo, qual suposição?

Solução:
Notação:

A : o primeiro resolve o problemaP[A] = 0,60P[A] = 0,40
B : o segundo resolve o problemaP[B] = 0,45P[B] = 0,55
C : o terceiro resolve o problemaP[B] = 0,30P[B] = 0,70
(a)
resposta será analisada
(b)
Ω = {(A,B,C),(A,B,C),(A,B,C),(A,B,C),(A,B,C),(A,B,C),(A,B,C),(A,B,C)}
(c)
Supondo independência: P[A B C] = P[A] P[B] P[C] = 0,60 0,45 0,30 = 0,081
(d)
Supondo independência:
P[A B C] = P[A] + P[B] + P[C] P[A B] P[A C] P[B C] + P[A B C] = 0,60 + 0,45 + 0.30 0,60 0,45 0,60 0,30 0,45 0,30 + 0,60 0,45 0,30 = 0,846
Solução alternativa:
P[ser resolvido] = 1 P[não ser resolvido] = 1 P[ABC] = 1 {P [A-]⋅P[B]⋅P[C]} = 1 (0,40 0,55 0,70) = 1 0,154 = 0,846
(e)
Independência entre os algorítmos, ou seja, a probabilidade de cada um resolverindepende do problema ser ou não resolvido pelo outro.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2. (20 pts) Considere o grafo a seguir no qual os nós estão dispostos em três camadas. Deseja-se avaliar duas probabilidades: de, partindo de A, (i) não chegar em F, (ii) chegar em G ou H. Serão dados exatamente dois passos e em cada passo seleciona-se aleatoriamente o movimento para qualquer um dos nós que esteja conectado ao nó atual (na camada superior ou inferior).

A

B

F

C

G

D

H

E

Solução:
Seja w uma possível rota e denotamos por X os nós sem identificação.
Como para cada nó o sorteio é aleatório, a probabilidade de ir para cada um dos nós conectados na camada seguinte é a mesma.
As possíveis rotas e suas respectivas probabilidades estão na tabela a seguir.















w (BA) (BX) (BF) (CA) (CF) (CX) (CG) (DA) (DG) (DX) (DH) (EA) (EH)














P[w] 1
4 1
3 1
4 1
3 1
4 1
3 1
4 1
4 1
4 1
4 1
4 1
4 1
4 1
4 1
4 1
4 1
4 1
4 1
4 1
4 1
4 1
4       1
      4          1
         2               1
              4                  1
                 2














P[(F)] = P[(BF)] + P[(CF)] = 112 + 116 = 478 = 0,146
P[(F)] = 1 7-
48 = 41
48 = 0,854
P[(G)] = P[(CG)] + P[(DG)] = 1-
16 + -1
16 = 1
8 = 0,125
P[(H)] = P[(DH)] + P[(EH)] = -1
16 + 1
8 = 3-
16 = 0,188
P[(G) (H)] Mut.Exc.
   =P[(G)] + P[(H)] = 1
8 + -3
16 = -5
16 = 0,312
3. (30 pts) Um indivíduo vai participar de uma competição que consiste em responder questões que são lhe são apresentadas sequencialmente. Com o nível de conhecimento que possui, a chance de acertar uma questão escolhida ao acaso é de 75% . Neste contexto, para cada diferente situação apresentada a seguir, defina a variável aleatória, sua distribuição de probabilidades e calcule a probabilidade solicitada. Se preciso, faça suposições necessárias e adequadas em cada caso.

(a)
Se for responder até errar uma pergunta, qual a probabilidade de conseguir acertar quatro ou mais questões?
(b)
Se for responder cinco perguntas, qual a probabilidade de acertar quatro ou mais?
(c)
Se for responder até acertar a terceira pergunta, qual a probabilidade de errar apenas uma?
(d)
Se o candidato selecionar aleatoriamente seis questões de um banco de 40 questões das quais o candidato sabe a resposta de 30 delas (75%), qual a probabilidade de acertar ao menos cinco delas.

Ainda neste contexto considere que o candidato responde, em média, 1,8 questões por minuto.

(e)
Qual a probabilidade de conseguir responder ao menos três questões em três minutos?
(f)
Qual a probabilidade de que o tempo para resposta de uma questão seja superior a 40 segundos?

Solução:

(a)
X : Número de acertos até o primeiro erro
X G(0,25)
P[X 4] = 1 P[X 3] = 1 i=03(1 0,25)i(0,25) = 0,316
(b)
X : Número de acertos em cinco perguntas
X B(n = 5,p = 0,75)
P[X 4] = P[X = 4] + P[X = 5] = i=45( )
 5
  i0,75i(1 0,75)5i = 0,633
(c)
X : Número de erros até o terceito acerto
X BN(r = 3,p = 0,75)
P[X = 1] = (3+ 1 − 1)
   3− 10,753(1 0,75)1 = 0,316
(d)
X : Número de acertos nas seis questões selecionadas
X HG(30,10,6)
P[X 5] = P[X = 5] + P[X = 6] = i=56(  )(   )
 30i 61−0i
--(40)--
    6 = 0,526
(e)
X : Número de questões respondidas em 3 minutos
X P(3 1,8 = 5,4)
P[X 3] = 1 P[X 2] = 1 i=02e−5,45,4i
    i! = 0,905
(f)
X : tempo (em min.) para responder uma questão
X Exp(λ = 1,8)
P[X 4060] = 40601,8e1,8xdx = 0,301

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4. (25 pts) Os escores obtidos em um exame de proficiência se distribuem segundo a distribuição normal com média 400 e desvio padrão 45.

(a)
qual a porcentagem de pessoas com escores acima de 370?
(b)
qual a porcentagem de pessoas com escores entre 380 e 430?
(c)
qual a porcentagem de pessoas com escores que não se afastam da média mais do que 25?
(d)
qual valor deve ter 30% dos escores acima dele?
(e)
mantendo-se o desvio padrão, qual deveria ser o escore médio para que 10% dos escores estejam acima de 500?

X : escores no exame e proficiência
X N(400,452)
(a)
P[X > 370] = P[Z > 370−400
  45] = P[Z > 0,667] = 0,7475−→74,75%
(b)
P[380 < X < 430] = P[380− 400
--45-- < Z < 430−400
--45--] = P[0,444 < Z < 0,667] = 0,4191−→41,91%
(c)
P[|X 400| < 25] = P[375 < X < 425] = P[375−45400 < Z < 425−45400] = P[0,556 < Z < 0,556] == 0,4215−→42,15%
(d)
P[X < a] = 0,70−→z = 0,524 = a−44500−→a = 423,6
(e)
P[X > 500|μ,σ = 45] = 0,1−→z = 1,28 = 5004−5μ−→μ = 442,3

Solução computacional com o programa R:

  > (ita <- round(pnorm(370, 400, 45, low=F),dig=4))

  [1] 0,7475

  > (itb <- round(diff(pnorm(c(380, 430), 400, 45)),dig=4))

  [1] 0,4191

  > (itc <- round(diff(pnorm(c(375, 425), 400, 45)),dig=4))

  [1] 0,4215

  > (itd <- round(qnorm(0.7, 400, 45), dig=1))

  [1] 423,6

  > (ite <- round(500-45*qnorm(0.90), dig=1))

  [1] 442,3

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