CE-003: Estatística II - Turma: KO, Prova Final 2o semestre/2015


  1. Dois profissionais vão tentar resolver um problema e cada um deles pode ou não conseguir resolver. A chance do primeiro resolver é de 60% e do segundo 45%. Neste contexto responda às questões abaixo, fazendo suposições se necessário.
    1. Por que este pode ser considerado um experimento aleatório?
    2. Qual o espaço amostral?
    3. Qual a probabilidade de que ambos resolvam o problema?
    4. Qual a probabilidade de que o problema seja resolvido?
    5. Foi necessária alguma suposição para para resolver os items anteriores? Se positivo, qual suposição?

    Solução:
    Notação:

    A : o primeiro resolve o problemaP[A] = 0,60P[A] = 0,40
    B : o segundo resolve o problemaP[B] = 0,45P[B] = 0,55
    1. Ω = {(A,B),(A,B),(A,B),(A,B)}
    2. Supondo independência: P[A B] = P[A] P[B] = 0,60 0,45 = 0.27
    3. Supondo independência: P[A B] = P[A] + P[B] P[A B] = 0,60 + 0,45 0.27 = 0.78
    4. Independência entre os profissionais, ou seja, a probabilidade de cada um resolver independe do problema ser ou não resolvido pelo outro.

    ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2. Para fins de segurança de preservação, são feitas cinco cópias de uma biblioteca de arquivos de imagens. A probabilidade de que qualquer cópia seja corrompida durante um certo intervalo de tempo é de 0,01.

    1. Qual a probabilidade da biblioteca ser perdida durante o período?
    2. Qual deveria ser a probabilidade individual de cada cópia ser corrompida para que a probabilidade de perda da biblioteca não ultrapassasse 0,001?
    3. Quantas cópias deveriam ser feitas para que a probabilidade de falha não ultrapassasse 0,001 caso sejam mantidas as probabilidades individuais de falha de 0,01.
    4. Descreva e discuta as suposições feitas para resolver o problema indicando situações em que elas poderiam ser inválidas.

    Solução:

    Evento Fi : falha da i-ésima cópiaP[Fi] = 0,01 = P[F]−→P[Fi] = 0,99
    Evento M : perda da biblioteca
    1. P[M] = P[F1 F2 F5] i=15P[Fi] = P[F]5 = 0,015
    2. P[M] < 0,001−→P[F]5 < 0,001−→P[F] < (0,001)15 = 0.25119
    3. P[M] < 0,001−→(0,01)n < 0,001−→n > log(0,001)
 log(0,01) = 2

    ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3. Suponha que os escores obtidos por estudantes em um teste online possam ser bem modelados por uma distribuição normal com média μ = 120 e variância σ2 = 122.

    1. Considera-se como estudante de alta performance os que atingem um escore a partir de 135. Qual o percentual esperado de estudantes de alta performance entre todos os que fazem o teste?
    2. Estudantes com escore abaixo de 100 devem se reinscrever e só podem voltar a fazer o teste após seis meses e os com escore entre 100 e 125 são convidados a refazer o teste após um mês. Quais as proporções de estudantes que deverá se reinscrever e que deverá refazer o teste após um mês?
    3. Define-se como quartis os escores abaixo dos quais espera-se encontrar 25, 50 e 75% dos estudantes. Quais os valores dos escores que definem os quartis?
    4. Quanto deveria ser o valor μ da média dos escores para que ao menos 30% dos escores fossem de alta performance?
    5. Há um outro teste que possui média μ = 125 e variância σ2 = 62. Em qual deles espera-se a maior proporção de estudantes de alta performance?

    Solução:

    X ∼ N (120,122)

    1. P[X > 135] = P[Z > 135−120
  12] = P[Z > 1.25] = 0.1056
    2. P[X < 100] = P[Z < 100− 120
---12----] = P[Z < 1.6667] = 0.0478
      P[100 < X < 125] = P[100− 120
---12---- < Z < 125− 120
---12----] = P[1.67 < Z < 0.417]
    3. P[X < Q1] = 0,25
      z1 = 0.674 = Q1 − 120
---12---
      Q1 = 120 8.09 = 112
      Usando o fato de que a distribuição é simétrica temos ainda que:
      Q2 = μ = 120
      Q3 = 120 + 8.09 = 128
    4. z = 135−μ-
 15 = 0.524−→μ = 128.7
    5. X1 N(120,122)
      X2 N(125,62)
      P[X1 135] = P[Z1 > 135−-120-
   12] = P[Z1 > 1.25] = 0.106
      P[X2 135] = P[Z2 > 135−-120-
   12] = P[Z2 > 1.67] = 0.0478

    Comandos em R para soluções:

      > (qa <- pnorm(135, mean=120, sd=12, lower=FALSE))

      [1] 0.1056

      > (qb <- diff(pnorm(c(-Inf, 100, 125), mean=120, sd=12)))

      [1] 0.04779 0.61375

      > (qc <- qnorm(c(.25, .50, .75), mean=120, sd=12))

      [1] 111.9 120.0 128.1

      > (qd <- 135 - 12 * round(qnorm(0.70), dig=3))

      [1] 128.7

      > (qez <- (135 - c(120, 125))/c(12, 6))

      [1] 1.250 1.667

      > (qep <- pnorm(135, m=c(120, 125), sd=c(12, 6), lower=FALSE))

      [1] 0.10565 0.04779

    ______________________________________________________________________________________________________ 4. Uma locadora de veículos que possui uma grande frota decide fazer um estudo sobre vários aspectos relacionados ao desempenho. Para isto vai tomar uma amostra aleatória de 25 de seus veículos para inspeções detalhadas. Várias características serão medidas, mas vamos aqui nos ater apenas ao consumo de combustível, supondo que a variância do consumo de toda a frota é de 6,25km∕l.

    1. Qual a probabilidade do consumo médio aferido nos 25 veículos, diferir do consumo médio de toda a frota em mais que 0,5km∕l? E em mais que 1km∕l?
    2. Qual a margem de erro na estimação do consumo médio da frota para uma confiança de 95%?
    3. Qual deveria ser o tamanho da amostra para que a margem de erro fosse a metade da calculada no item anterior?
    4. Se uma amostra (com n = 25) fornecer uma estimativa intervalar de (11,1;12,3)km∕l, qual a confiança desta estimativa?
    5. identifique no problema: a população variável aleatória de interesse, o parâmetro de interesse, o estimador, a distribuição amostral, a estimativa pontual e a estimativa intervalar.

    Solução:

    X : consumo de veículo da frota
    Distribuição da variável aleatória (população):
    X Dist.(μX = E[X]X2 = V ar[X])
    distribuição amostral:
    X N(μX = μXX = σX2∕n)
    ou, equivalentemente,
    X μ N(02∕n)
    σX2 = 6,25;σ X2 = 0,25;σ X = 0,5

    1.                     --
   --              |X − μ|
P [|X − μ| > 0,5] = P[-σ---> 0,5∕σ] = P [|Z| > 1] = 0.317

                       --
  --             |X-−-μ|-
P[|X − μ| > 1] = P [ σ   > 1∕σ] = P[|Z | > 2] = 0.0455

    2. ME = z0,95σX = z0,95    σ√X--
      n
      ME = 1.96-2,5
√25-
      ME = 0.98
    3. M  E
--2- = z0,95σX = z0,95    σX
   √--∗-
     n
      n = (-2--
M E)2z 0,952σ X2
      n = (-2--
0.98)21.9626,25
      n = 100
    4. (11,1;12,3) 11,7 ± 0,6
      ME = z0,95σX = z0,95    σX
    √n--
      0,6 = z1α0,5
      z1α = 0,6
---
0,5
      1 α(confiança) = 0.77(77%)

    ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5. Imagine uma situação na qual serão levantados dados de diferentes atributos. Os atributos devem conter ao menos três dos quatro tipos de variáveis vistas no curso Descreva a situação de indique que tipo de gráfico seria utilizado para resumir cada variável. Comente ainda cruzamentos de interesse entre duas variáveis, como seriam interpretados e os gráficos que seriam utilizados para representar tais cruzamentos.