CE-003: Estatística II - Turma: K/O, 2a Prova (17/06/2015)

GRR: ______________________ Nome: _____________________________________________________________ Turma: ________________________________________________________________

1.
(2 pts) O tempo esperado (médio) de viagem de ônibus entre duas cidades é de 6 horas e 30 minutos com desvio padrão de 15 minutos.
(a)
Qual a probabilidade de que uma viagem tenha um atraso de mais que 20 minutos?
(b)
Se uma empresa faz 10 viagens por dia, qual a probabilidade de que tempo total das viagens seja superior a 67 horas?

Solução:
Notação:

X : tempo de viagem (em horas)
X ~ N(6,5;0,252)
X : tempo médio de 10 viagens (em horas)
X10 ~ N(6,5;(0,252)10)
(a)
P[X > 6,5 + (2060)] = P[Z > 6,830.-265,5] = P[Z > 27,33] = 0,0912
(b)
P[X10 > 6,7] = P[Z > -6,7-6√,5-
0.25∕ 10] = P[Z > 84,75] = 0,00571

X : tempo de viagem (em minutos)
X ~ N(390;152)
X : tempo médio de 10 viagens (em minutos)
X ~ N(390;15210)
P[X > 410] = 0,0912
P[X > 402] = 0,00571

Solução computacional com o programa R:

  > ita <- pnorm(6.5 + 20/60, mean=6.5, sd=0.25, lower=FALSE)
  > itb <- pnorm(6.7, mean=6.5, sd=0.25/sqrt(10), lower=FALSE)
  > ita1 <- pnorm(410, mean=390, sd=15, lower=FALSE)
  > itb1 <- pnorm(402, mean=390, sd=15/sqrt(10), lower=FALSE)

______________________________________________________________________________________________________

2.
(3 pts) Ainda no contexto da questão anterior, suspeitou-se que, com alterações nos trajetos e no trânsito, houve alteração nas características de tempo das viagens. Para investigar tomou-se uma amostra aleatória de 25 viagens. O tempo médio das viagens da amostra foi de 6 horas e 40 minutos e o desvio padrão de 24 minutos. Faça testes adequados para verificar se há evidência estatística de que houveram tais alterações. Caso tenham ocorrido forneça as estimativas intervalares (com confiança de 95%) para o(s) parametro(s) alterado(s).

Solução:
Solução computacional com o programa R:

  > ## Teste para variância
  > (chi2c <- (25-1)*(24^2)/(15^2))

  [1] 61,44

  > (chi2t <- qchisq(c(0.025, 0.975), df=25-1))

  [1] 12,40 39,36

  > (ICsigma <- sqrt((25-1)*(24^2)/qchisq(c(0.975, 0.025), df=25-1)))

  [1] 18,74 33,39

  > ## Teste para média
  > (tc <- (400-390)/(24/sqrt(25)))

  [1] 2,083

  > (tt <- qt(c(0.025, 0.975), df=25-1))

  [1] -2,064  2,064

  > (pvalor <- 2*pt(tc, df=25-1, lower=FALSE))

  [1] 0,04804

  > (ICmu <- 400 + qt(c(0.025, 0.975), df=25-1) * 24/sqrt(25))

  [1] 390,1 409,9

______________________________________________________________________________________________________

3.
(2 pts) Dois medicamentos foram testados para comparar a sua eficácia no controle de infecções bucais. Para isto pacientes com infecção receberam o tratamento com um deles, selecionado aleatoriamente. O medicamento A foi utilizado em 80 pacientes tendo sido efetivo no controle para 63 deles. O medicamento B foi efetivo em 42 dentre os 55 que o receberam. Baseados nestes resultados, use um procedimento adequado para verificar se há evidência estatística de que haja diferença na eficiência dos medicamentos.

Solução:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.
(1 pt) Deseja-se fazer uma pesquisa para estimar a proporção de indivíduos de uma população que conhece um determinado aplicativo para telefones celulares. Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para que o erro da estimativa seja de no máximo 3% com 95% de confiança?
(Resolva sob a suposição de que será tomada uma amostra aleatória simples)

Solução:

ˆp ~ N(   p(1- p))
  p,---n---
M.E. = z0,975∘ --------
  p(1--p)
     n
n = ⌈
 z20,975p(1 - p)
 ---M.E.2----
usando p = 0,5
n = ⌈
 1,9620,5(1--0,5)
      0,032
n = 1068
5.
(2 pts) Suponha que os dados a seguir foram obtidos em um estudo e deseja-se explicar o comportamento da variável Y pelos valores de uma outra variavel X pelo modelo Y = θX + ϵ. Encontre a expressão do estimador de mínimos quadrados de θ e obtenha o valor da estimativa para o seguinte conjunto de dados.
X    2,0     2,5     4,0     4,8    5,6     8,2  
------------------------------------------------  
Y    6,2     7,0    12,5    14,4   18,0    23,0

Solução:

Q = i=1nϵ2 = i=1n(Y i - θXi)2
dQ-
dθ = i=1n2X i(Y i - θXi)
dQ
dθ- = 0-→
i=1nX i(Y i - ˆ
θ Xi) = 0
i=1nX iY i -ˆθ i=1nX i2 = 0
e o estimador é:
ˆθ = ∑n
-∑in=1XiYi2
   i=1X i
Obtendo o valor da estimativa:







Xi 2,0 2,5 4,0 4,8 5,6 8,2







Y i 6,2 7,0 12,5 14,4 18,0 23,0







XiY i 12,4 17,5 50 69,12 100,8 188,60







Xi2 4 6,25 16 23,04 31,36 67,24







ˆ   438,42-
θ = 147,89 = 2,96


PIC

Solução computacional com o programa R:

  > par(mar=c(3,3,0,0))
  > X <- c(2.0, 2.5, 4.0, 4.8, 5.6, 8.2)
  > Y <- c(6.2, 7.0, 12.5, 14.4, 18.0, 23.0)
  > plot(Y ~ X)
  > (reg <- lm(Y ~ X + 0))

  Call:
  lm(formula = Y ~ X + 0)
  
  Coefficients:
     X
  2,96

  > abline(reg)

______________________________________________________________________________________________________