CE-003: Estatística II - Turma: K/O, 1a Prova (06/05/2015)

GRR: ______________________ Nome: _____________________________________________________________ Turma: ________________________________________________________________

1.
(2 pts) Dois profissionais vão tentar resolver um problema e cada um deles pode ou não conseguir resolver. A chance do primeiro resolver é de 60% e do segundo 45%. Neste contexto responda às questões abaixo, fazendo suposições se necessário.
(a)
Por que este pode ser considerado um experimento aleatório?
(b)
Qual o espaço amostral?
(c)
Qual a probabilidade de que ambos resolvam o problema?
(d)
Qual a probabilidade de que o problema seja resolvido?
(e)
Foi necessária alguma suposição para para resolver os items anteriores? Se positivo, qual suposição?

Solução:
Notação:

A : o primeiro resolve o problemaP[A] = 0,60P[A] = 0,40
B : o segundo resolve o problemaP[B] = 0,45P[B] = 0,55
(a)
(b)
Ω = {(A,B),(A,B),(A,B),(A,B)}
(c)
Supondo independência: P[A B] = P[A] P[B] = 0,60 0,45 = 0,27
(d)
Supondo independência: P[A B] = P[A] + P[B] P[A B] = 0,60 + 0,45 0,27 = 0,78
(e)
Independência entre os profissionais, ou seja, a probabilidade de cada um resolver independe do problema ser ou não resolvido pelo outro.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2. (1 pt) Considere o grafo a seguir no qual os nós estão dispostos em três camadas. Deseja-se avaliar duas probabilidades: de, partindo de A, (i) chegar em F, (ii) chegar em G ou H. Serão dados dois passos e em cada passo seleciona-se aleatoriamente o movimento para um dos nós de uma camada inferior que esteja conectado ao nó atual.

A

B

F

C

G

D

H

E

Solução:
Seja w uma possível rota e denotamos por X os nós sem identificação.
Como para cada nó o sorteio é aleatório, a probabilidade de ir para cada um dos nós conectados na camada seguinte é a mesma.
As possíveis rotas e suas respectivas probabilidades estão na tabela a seguir.











w (BX) (BF) (CF) (CX) (CG) (DG) (DX) (DH) (EH)










P[w] 1
4 1
2 1
4 1
2 1
4 1
3 1
4 1
3 1
4 1
3 1
4 1
3 1
4 1
3 1
4 1
3 1
4 1
1










P[(F)] = P[(BF)] + P[(CF)] = 18 + 112 = 254 = 0,208
P[(G)] = P[(CG)] + P[(DG)] = 1-
12 + -1
12 = 1
6 = 0,167
P[(H)] = P[(DH)] + P[(EH)] = -1
12 + 1
4 = 1
3 = 0,333
P[(G) (H)] Mut.Exc.
   =P[(G)] + P[(H)] = 1
6 + 1
3 = 1
2 = 0,5
3. (1 pt) Sabe-se que em um sistema de transmissão de dados, uma tempestade causa, em média, a falha de transmissão de um pacote em cada 200. Transmitindo 500 pacotes nestas condições, qual a probabilidade que:
(a)
no máximo três pacotes não sejam transmitidos
(b)
todos sejam transmitidos

Solução:

X : número falhas de transmissão em 500 pacotes
X B(n = 500,p = 1200)P[X = x] = (  )
 n
  xpx(1 p)(nx)
X P(λ = 500 (1200) = 2,5)P[X = x] = e−λλx
--x!--

(a)
P[X 3] = 0,7578
(b)
P[X = 0] = 0,0816

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4. (4 pts) A tabela a seguir apresenta as notas de matemática no vestibular e na disciplina de cálculo de alguns alunos selecionados ao acaso. Pretende-se examinar os desempenhos nestas provas e se há relação entre os desempenhos.







Aluno Vestibular Cálculo Aluno Vestibular Cálculo






1 37 65 7 35 50
2 57 92 8 80 90
3 34 56 9 65 88
4 40 70 10 47 71
5 21 52 11 28 52
6 28 73 12 67 88






(a)
Calcule a mediana, quartis e amplitude interquartílica das notas de cálculo.
(b)
Calcule o coeficiente de variação das notas do vestibular e de cálculo.
(c)
Construa um diagrama "ramo-e-folhas" com todas as notas (vestibular e cálculo) e marque (sublinhe) nas "folhas" os dados da prova de cálculo.
(d)
Faça um gráfico com os diagramas "box-plot" das duas notas (um "boxplot"para cada).
(e)
Construa um gráfico adequado para representar os dados das duas provas conjuntamente. Calcule medida(s) de associação adequada(s).
(f)
Compare, interprete e discuta os resultados.

Solução:

(a)
  medianaV      q1V      q3V     AIQV
      38,5     31,0     61,0     30,0

  medianaC      q1C      q3C     AIQC
      70,5     54,0     88,0     34,0
(b)
      mediaV varianciaV        sdV
       44,92     338,27      18,39

      mediaC varianciaC        sdV
       70,58     255,17      15,97

  CVvestibular    CVcalculo
         40,95        22,63
(c)
    The decimal point is 1 digit(s) to the right of the |
  
    2 | 188457
    4 | 0702267
    6 | 557013
    8 | 08802

    The decimal point is 1 digit(s) to the right of the |
  
    2 | 188
    3 | 457
    4 | 07
    5 | 02267
    6 | 557
    7 | 013
    8 | 088
    9 | 02
(d)


PIC

(e)
   pearson  kendall spearman
    0,8675   0,6357   0,7750
(f)
Comentários:

O CV permite comparar a variabilidade de grupos de diferentes médias, que é o caso neste exemplo. A medida Mostra que as notas de cálculo são mais homogêneas do que as do vestibular, em relação às suas médias, embora as variabilidade absolutas sejam semelhantes.

Os gráficos box-plot e ramo-e-folhas mostram valores nitidamente mais elevados para notas de cálculo, com variabilidades absolutas semelhantes, uma leve assimetria nas notas do vestibular com maior concentração de valores baixos e sem presença de observações discrepantes.

O diagrama de dispersão mostra uma relação ligeiramente não linear, positiva e sem presença de dados Discrepantes, embora com os dados dispostos em dois grupos separados de valores baixos e altos. Desta forma os diferentes coeficientes de correlação apresentam valores um pouco diferentes como de Pearson mais elevado devido à posição dos grupos distintos e moderada associação.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5. (2 pts) Os escores obtidos em um exame de proficiência se distribuem segundo a distribuição normal com média 400 e desvio padrão 45.

(a)
qual a percentagem de pessoas com escores acima de 350?
(b)
qual a percentagem de pessoas com escores entre 450 e 500?
(c)
qual a percentagem de pessoas com escores que não se afastem da média mais do que 30?
(d)
qual valor deve ter 80% dos escores abaixo dele?
(e)
mantendo-se a mesma média, quanto deveria ser o desvio padrão ter 10% dos escores acima de 500?

X : escores no exame e proficiência
X N(400,452)
(a)
P[X > 350] = 0,1201−→86,67%
(b)
P[450 < X < 500] = 0,1201−→12,01%
(c)
P[|X 400| < 30] = P[370 < X < 430] = 0,495−→49,5%
(d)
P[X < a] = 0,8−→a = 437,9
(e)
P[X > 500|μ = 400] = 0,1−→σ = 78

Solução computacional com o programa R:

  > (ita <- round(pnorm(350, 400, 45, low=F),dig=4))

  [1] 0,8667

  > (itb <- round(diff(pnorm(c(450, 500), 400, 45)),dig=4))

  [1] 0,1201

  > (itc <- round(diff(pnorm(c(370, 430), 400, 45)),dig=4))

  [1] 0,495

  > (itd <- round(qnorm(0.8, 400, 45), dig=1))

  [1] 437,9

  > (ite <- round((500-400)/qnorm(0.90), dig=1))

  [1] 78

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